Sollte die Addition des Drehimpulses nicht kommutativ sein?

Ich habe Drehimpuls$S=\frac{1}{2}$für Spin und$I=\frac{1}{2}$für den Kerndrehimpuls, den ich über die Clebsch-Gordan-Basis addieren möchte , sieht die Umrechnung also so aus:

$$\begin{align} \lvert 1,1\rangle &= \lvert\bigl(\tfrac{1}{2}\tfrac{1}{2}\bigr)\tfrac{1}{2}\tfrac{1}{2}\rangle,\tag{4.21a} \\ \lvert 1,0\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\biggl(\lvert\bigl(\tfrac{1}{2}\tfrac{1}{2}\bigr)\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\rangle + \lvert\bigl(\tfrac{1}{2}\tfrac{1}{2}\bigr),-\tfrac{1}{2}\tfrac{1}{2}\rangle\biggr),\tag{4.21b} \\ \lvert 1,-1\rangle &= \lvert\bigl(\tfrac{1}{2}\tfrac{1}{2}\bigr),-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\rangle,\tag{4.21c} \\ \lvert 0,0\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\biggl(\lvert\bigl(\tfrac{1}{2}\tfrac{1}{2}\bigr)\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\rangle - \lvert\bigl(\tfrac{1}{2}\tfrac{1}{2}\bigr),-\tfrac{1}{2}\tfrac{1}{2}\rangle\biggr),\tag{4.21d} \end{align}$$

Wo$F=I+S$, das ist also die Basis$\lvert F m_F \rangle = \sum_m \lvert\bigl(I S\bigr),m_I m_S\rangle$.

Da nun das Hinzufügen von Drehimpulsen kommutativ ist, ist der Austausch zwischen$I$Und$S$sollte mathematisch keinen Unterschied einführen.

Mit anderen Worten, in der in diesen Gleichungen beschriebenen Basis sollte es keine Rolle spielen, ob ich es so schreibe$\lvert\bigl(I S\bigr),m_I m_S\rangle$oder$\lvert\bigl(S I\bigr),m_S m_I\rangle$, Rechts?

Nun ist das Problem folgendes: Ich habe die Hamilton-Matrix erstellt$H=-\vec{\mu}\cdot \vec{B} = -2 \mu B_z S_z/\hbar$im$\lvert F m_F \rangle$Darstellung, und tatsächlich hängt das Ergebnis davon ab, wie Sie diese Drehimpulse nennen, so könnte das Ergebnis sein

$$H = \begin{pmatrix} \mu_B B & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \mu_B B & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &\mu_B B \\ 0 & 0 & \mu_B B & 0 \end{pmatrix}$$

Oder könnte es sein

$$H = \begin{pmatrix} \mu_B B & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \mu_B B & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &-\mu_B B \\ 0 & 0 & -\mu_B B & 0 \end{pmatrix}$$

Je nachdem, wie Sie sie "beschriften",$I$oder$S$... was sehr verwirrend ist!

Dies geschieht aufgrund der nichtdiagonalen Terme

$$\left\langle 1 0 \right| S_z \left| 0 0 \right\rangle = \frac{1}{2} \left( \left\langle (\frac{1}{2} \frac{1}{2}) \frac{1}{2} -\frac{1}{2} \right| + \left\langle (\frac{1}{2} \frac{1}{2}) -\frac{1}{2} \frac{1}{2} \right| \right) S_z \left( \left| (\frac{1}{2} \frac{1}{2}) \frac{1}{2} -\frac{1}{2} \right\rangle - \left| (\frac{1}{2} \frac{1}{2}) -\frac{1}{2} \frac{1}{2} \right\rangle \right)$$

wird entweder sein$\hbar/2$oder$-\hbar/2$abhängig von Ihrer Konvention, ob es ist$\lvert\bigl(I S\bigr),m_I m_S\rangle$oder$\lvert\bigl(S I\bigr),m_S m_I\rangle$.

Wie kann ich das physikalisch und mathematisch verstehen? Sollte die Addition nicht kommutativ sein und der Prozess blind dafür sein, welche Bezeichnungen ich verwende?