"Umgekehrte" Clebsch-Gordan-Koeffizienten

Question

"Umgekehrte" Clebsch-Gordan-Koeffizienten

Seife

Betrachten Sie die Summe der Drehimpulse $J=J_1+J_2$ .

Wenn man einen Zustand hat $|J,M\rangle$ einer Eigenbasis eines gemeinsamen Eigenraums von $J^2$ Und $J_z$ , man kann es in Bezug auf die Elemente schreiben $|j_1,m_1;j_2,m_2\rangle$ einer Eigenbasis eines gemeinsamen Eigenraums von $J_1^2,\,J_2^2,\,J_{1z},\,J_{2z}$ :

| J, M ⟩ = \sum_{M_{1}, M_{2}} C_{M_{1}, M_{2}, M}^{J_{1}, J_{2}, J} | J_{1}, M_{1}; J_{2}, M_{2} ⟩

$|J,M\rangle=\underset{m_1,m_2}{\sum} C^{j_1,\,j_2,\,J}_{m_1,\,m_2,\,M}\ \ |j_1,m_1;j_2,m_2\rangle$ Wo

C_{m_{1}, m_{2}, M}^{j_{1}, j_{2}, J}

$C^{j_1,\,j_2,\,J}_{m_1,\,m_2,\,M}$ sind die Clebsch-Gordan-Koeffizienten.

Ich kann dies leicht mit einer Clebsch-Gordan-Koeffiziententabelle tun. Was ist, wenn ich die Kets ausdrücken möchte? $|j_1,m_1;j_2,m_2\rangle$ in Bezug auf die Kets $|J,M\rangle$ ? In diesem Fall kann ich das alles schreiben $|J,M\rangle$ in Bezug auf die Staaten $|j_1,m_1;j_2,m_2\rangle$ und kombiniere sie so, dass ich einen von den bekomme $|j_1,m_1;j_2,m_2\rangle$ Zustände. Dies kann zu langen Berechnungen führen.

Ich frage mich, ob es eine Tabelle wie die für Clebsch-Gordan-Koeffizienten gibt, aber für eine Art "umgekehrte" Clebsch-Gordan-Koeffizienten $B^{j_1,\,j_2,\,J}_{m_1,\,m_2,\,M}$ so dass

| J_{1}, M_{1}; J_{2}, M_{2} ⟩ = \sum_{J, M} B_{M_{1}, M_{2}, M}^{J_{1}, J_{2}, J} | J, M ⟩

$|j_1,m_1;j_2,m_2\rangle=\underset{J,M}{\sum} B^{j_1,\,j_2,\,J}_{m_1,\,m_2,\,M}\ \ |J,M\rangle$

Kosmas Zachos

Informieren Sie sich über die Orthogonalitätsbeziehungen ?

Antworten (3)

"Umgekehrte" Clebsch-Gordan-Koeffizienten

Informieren Sie sich über die Orthogonalitätsbeziehungen ?

ZeroTheHero · Answer 1

Wenn ich das richtig verstehe, die Koeffizienten $B$ sind eigentlich nur CG's: um es explizit zu sagen

| J_{1} M_{1}; J_{2} M_{2} ⟩ = \sum_{J (M)} C_{M_{1} M_{2} M}^{J_{1} J_{2} J} | J M ⟩

$\vert j_1m_1; j_2m_2\rangle = \sum_{J(M)} C^{j_1j_2J}_{m_1m_2M} \vert JM\rangle$ Notieren Sie die Summe von

M

$M$ ist nicht wirklich eine Summe wie

M

$M$ befriedigen muss

M = m_{1} + m_{2}

$M=m_1+m_2$ .

Der beste Weg, dies zu sehen, ist, damit zu beginnen $\vert j_1m_1; j_2m_2\rangle$ und fügen Sie einfach die Einheit ein $I=\sum_{JM}\vert JM\rangle\langle JM\vert$ . Man hat dann

| J_{1} M_{1}; J_{2} M_{2} ⟩ = \sum_{J M} | J M ⟩ ⟨ J M | J_{1} M_{1}; J_{2} M_{2} ⟩

$\vert j_1m_1; j_2m_2\rangle=\sum_{JM}\vert JM\rangle\langle JM\vert j_1m_1;j_2m_2\rangle$ mit

⟨ J M | J_{1} M_{1}; J_{2} M_{2} ⟩ = ⟨ J_{1} M_{1}; J_{2} M_{2} | J M ⟩ = C_{M_{1} M_{2} M}^{J_{1} J_{2} J}

$\langle JM\vert j_1m_1;j_2m_2\rangle = \langle j_1m_1;j_2m_2\vert JM\rangle = C^{j_1j_2J}_{m_1m_2M}$ da die CGs real sind.

Ah, wir haben gleichzeitig gepostet. Ich stimme mit Ihnen ein.

Lagerbär · Answer 2

So wie du die Frage jetzt stellst, geht das nicht ganz. Denn wenn du es mir sagst $J$ Und $M$ , es gibt viele Möglichkeiten für $j_1$ Und $j_2$ dazu zu kommen. Wenn der Gesamtdrehimpuls ist $0$ , dann gibt es zum Beispiel unendlich viele Möglichkeiten für $j_1$ Und $j_2$ um mich dazu zu bringen $0$ . Sie könnten beide Spin 1/2 sein, oder sie könnten beide Spin 1 sein. Oder sie könnten beide Spin 42 sein.

Allerdings, wenn Sie was angeben $j_1$ Und $j_2$ sind, dann ist es einfach, die Clebsch-Gordan-Koeffizienten über die Einsicht umzukehren, dass sie eine Orthogonale bilden Beziehung bilden.

Grundsätzlich:

| J_{1}, M_{1}, J_{2}, M_{2} ⟩ = \sum_{J, M^{'}} | J, M ⟩ ⟨ J, M | J_{1}, M_{1}, J_{2}, M_{2} ⟩

$|j_1, m_1, j_2, m_2\rangle = \sum_{J,M'} |J,M\rangle \langle J,M | j_1, m_1, j_2, m_2\rangle$

wo die Staaten $|J, M\rangle$ sind auf diejenigen beschränkt, aus denen Sie tatsächlich formen können $j_1$ Und $j_2$ .

Und nun, dieser Braket ist nur der Clebsch-Gordan-Koeffizient $C_{m_1, m_2, M}^{j_1, j_2, J}$ . Nun, technisch gesehen ist es seine komplexe Konjugierte, aber da die Koeffizienten in der typischen Phasenkonvention reellwertig sind, spielt diese Unterscheidung keine Rolle.

Knzhou · Answer 3

Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten enthalten genügend Informationen, um die Umkehrung zu berechnen, da

⟨ J_{1} J_{2} M_{1} M_{2} | J M ⟩ = C_{M_{1}, M_{2}, M}^{J_{1}, J_{2}, J} .

$\langle j_1 j_2 m_1 m_2 | jm \rangle = C^{j_1, j_2, j}_{m_1, m_2, m}.$ Konjugieren, die gesuchten Matrixelemente sind

⟨ J M | J_{1} J_{2} M_{1} M_{2} ⟩ = (C_{M_{1}, M_{2}, M}^{J_{1}, J_{2}, J})^{*} .

$\langle jm | j_1 j_2 m_1 m_2 \rangle = (C^{j_1, j_2, j}_{m_1, m_2, m})^*.$

Beachten Sie einige inkonsistente Groß- und Kleinschreibung.

"Umgekehrte" Clebsch-Gordan-Koeffizienten

Seife

Kosmas Zachos

Antworten (3)

ZeroTheHero

Lagerbär

Lagerbär

Knzhou

Emilio Pisanty

Warum werden Zwei-Elektronen-Systeme normalerweise auf Singulett-Triplett-Basis beschrieben?

Vereinfachung einer Summe von Produkten von Clebsch-Gordan-Koeffizienten

Festlegen der Phase der Clebsch-Gordan-Koeffizienten für jjjs kleiner als der Maximalwert

Warum garantieren sl(2,C)sl(2,C)sl(2,\mathbb{C}) Hebe- und Senkoperatoren J±J±J_{\pm} quantisierte Eigenwerte?

Triplet- und Singulett-Zustände verstehen

Gesamtspin-Drehimpuls eines Zwei-Spin-1/2-Teilchensystems

Korrigieren Sie den Vektorraum der Eigenkets des Drehimpulses

Sollte die Addition des Drehimpulses nicht kommutativ sein?

Buchempfehlung Quantenmechanik (mit spezifischen Parametern)

Erwartungswerte von LxLxL_x- und LyLyL_y-Operatoren in LzLzL_z-Eigenzuständen