Festlegen der Phase der Clebsch-Gordan-Koeffizienten für jjjs kleiner als der Maximalwert

Die CG-Koeffizienten werden normalerweise bestimmt, indem zuerst der höchste Zustand in jedem Irrep konstruiert wird, dh der Zustand, für den$M=J$. Dieser Zustand wird durch die Anforderung bestimmt, durch die es getötet werden muss$L_+$, dh

$$L_+\vert \ell ,s,j,j\rangle=0$$ Daraus kann man eine Rekursionsrelation für alle CGs erhalten, die für den höchsten Zustand benötigt werden $\vert \ell ,s,j,j\rangle$, und diese Rekursion kann vollständig in Bezug auf bestimmt werden $C^{\ell,m_s}$mit $m_s=j-\ell$. Dies reicht aus, um die relativen Phasen von CGs für den höchsten Zustand festzulegen, aber nicht die Gesamtphase . In dem bekannten Beispiel von $\ell=1/2$Und $s=1/2$, die Staaten $$\vert 00\rangle_\pm=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \vert \textstyle\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\rangle \vert \frac{1}{2} ,-\frac{1}{2}\rangle -\vert \frac{1}{2} ,-\frac{1}{2}\rangle \vert \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\rangle \right)\, . \tag{1}$$ werden beide von getötet $L_+=L_+^{(1)}+L_+^{(2)}$.

Der Koeffizient$C^{\ell,m_s}$wird oft unter Verwendung einer Normalisierungsbedingung ausgewertet, sodass sein Vorzeichen beliebig ist. Die übliche Condon-Shortley- Phasenkonvention besteht darin, den Koeffizienten positiv zu wählen$C^{\ell,m_s}$des Staates$\vert \ell,\ell\rangle \vert s,j-\ell\rangle$, dh halten Sie die$\vert 00\rangle_+$Zustand im Beispiel von (1). Diese Phasenkonvention ist bei weitem die am häufigsten verwendete.

Sobald die relativen Phasen dieses höchsten Zustands hergestellt sind, wird die Phase der anderen Koeffizienten mit$m_j\ne j$aus der Aktion des Absenkoperators folgen.

Nichts ist so weit verbreitet wie die Condon-Shortly-Konvention für die Phase von CGs für Darstellungen anderer (Lie-)Algebren, sg$su(3)$. Tatsächlich herrscht nicht einmal Einigkeit über die Vorzeichen der Generatormatrixelemente, obwohl oft das Gelfan'd-Zeitlin-Schema als zugehörige Matrixelemente verwendet wird (dieses Schema kann für algebraische Manipulationen umständlich werden).

Das allgemeine Verfahren bleibt das gleiche: Finden Sie den höchsten Zustand, indem Sie verlangen, dass er von allen Erhöhungsoperatoren getötet wird, fixieren Sie das Vorzeichen eines Startkoeffizienten der Rekursion für den höchsten Zustand und verwenden Sie die Senkoperatoren, um die verbleibenden Koeffizienten zu erhalten.

Jenseits von Mathematica (das eine eingebaute Funktion ClesbshGordan für die$su(2)$Fall), gibt es eine webbasierte Schnittstelle zur numerischen Berechnung$su(N)$CGs für alle$N$unter Verwendung der Gelfan'd Zeitlin-Basis.

Hier gibt es ein gewisses Maß an Mehrdeutigkeit, weil die Staaten$\left|1,\tfrac12, \tfrac12,\tfrac12\right>$Und$\left|1,\tfrac12,\tfrac32,\tfrac12\right>$leben in unterschiedlichen Darstellungen, und wenn man eine globale Phase auf das Ganze anwendet$j=1/2$Vertretung wären die Folgen recht begrenzt. Da wir jedoch eine einzige eindeutige Definition der Clebsch-Gordan-Koeffizienten haben wollen (wie zB in Kapitel 34 des DLMF angegeben , insbesondere in den Gleichungen 34.1.1 und 34.2.4), müssen wir diese Phase fixieren.

Das Kernkriterium dafür ist in §3.4 von Edmonds' Winkelimpuls in der Quantenmechanik angegeben , und kurz gesagt, Sie benötigen dies

Alle Matrixelemente von$J_{1x}$die nichtdiagonal sind$j$sind reell und nicht negativ.

Dies setzt die Bedingung voraus, dass wenn Sie die Phase der fixieren$m_J=j$Zustand mit einem Matrixelement zu einem Zustand in einem anderen$j$Darstellung haben dann auch alle möglichen Matrixelemente zwischen den beiden Darstellungen diese Eigenschaft. Das ist nicht trivial und der Beweis ist in Edmonds, aber es hat keinen Sinn, es hier zu wiederholen.

Wenn Sie Ihre Arbeit noch einmal überprüfen möchten, ist ein praktischer Trick die Berechnung des Koeffizienten in Mathematica (z. B. als ClebschGordan[{1/2, 1/2}, {1, 0}, {1/2, 1/2}] , oder allgemeiner mit der Syntax ClebschGordan[{j1, m1}, {j2, m2}, {j, m}]), oder Wolfram Alpha bitten, diese Berechnung für Sie durchzuführen .