Warum garantieren sl(2,C)sl(2,C)sl(2,\mathbb{C}) Hebe- und Senkoperatoren J±J±J_{\pm} quantisierte Eigenwerte?

Ich habe Quantenmechanik studiert, insbesondere Drehimpuls, aber ich habe eine Frage, die sich auf das Heben und Senken von Operatoren als Ganzes bezieht. Für den Gesamtdrehimpuls können Sie definieren:

J ± = J X ± ich J j
Jeder, der sich mit dem Drehimpuls auskennt, wird diese als Hebe- und Senkoperatoren erkennen, aber ich werde mit dem Problem fortfahren, um meine Frage besser zu erklären.

Eine Analyse dieses Problems zeigt Folgendes:

[ J z , J ± ] = ± ℏ J ±
[ J 2 , J ± ] = 0
Von hier aus ist es leicht zu erkennen, ob J z | a β ⟩ = β | a β ⟩ , Und J 2 | a β ⟩ = a | a β ⟩ ,
J z ( J + | a β ⟩ ) = ( J + J z + ℏ J + ) | a β ⟩ = ( J + β + ℏ J + ) | a β ⟩ = ( β + ℏ ) J + | a β ⟩
Und so können wir sagen J + | a β ⟩ = C | a , β + ℏ ⟩ .

Obwohl dieser Ansatz sehr sauber ist, zeigt er meiner Meinung nach nicht genau, dass die Eigenwerte von J z existieren nur in Schritten von ℏ . Zum Beispiel, wenn ich in der Lage wäre, einen beliebigen Satz von Operatoren zu finden W ± , so dass [ J z , W ± ] = ± ( ℏ / 4 ) W ± , dann könnte ich durch die obige Logik leicht zeigen, dass die Eigenwerte von J z existieren in Schritten von ℏ / 4 . Was garantiert also, dass ich solche Operatoren nicht finden kann? Genauer gesagt, welcher Teil des Verfahrens des "Anhebens und Absenkens des Operators" garantiert, dass es nicht mehr mögliche Eigenwerte von gibt J z (oder irgendein Operator), als diejenigen, die mit Hebe- und Senkoperatoren gefunden werden?

Antworten (2)

Die formale Antwort liegt in der Darstellungstheorie, in diesem Fall der Darstellungstheorie der Lie-Algebra S u ( 2 ) , die von den drei Operatoren aufgespannt wird J z , J + , J − . Dass es keine Eigenwerte mehr gibt von J z als die durch die Ladder-Operator-Methode gefundenen, folgt aus zwei Tatsachen:

  1. Jede Darstellung von S u ( 2 ) ist vollständig zerlegbar, dh die direkte Summe irreduzibler Darstellungen.

  2. Die irreduziblen Darstellungen von S u ( 2 ) sind genau die "Spin-Darstellungen" der Physik, gekennzeichnet durch den halbzahlig größten Eigenwert ("höchstes Gewicht") S von J z , die Dimension haben 2 S + 1 , bestehend aus den Zuständen mit Eigenwerten − S , − S + 1 , … , S − 1 , S .

S halbzahlig sein, weil man das direkt zeigen kann, wenn S das höchste Gewicht ist, dann ist der niedrigste Eigenwert − S , und wenn die Differenz zwischen dem höchsten und dem niedrigsten Gewicht keine ganze Zahl wäre, könnten wir ein noch niedrigeres Gewicht erreichen, indem wir den Erniedrigungsoperator auf den Zustand mit dem höchsten Gewicht anwenden.

  1. Es gibt keine Kombination von Drehimpulsoperatoren , die eine Bedingung wie erfüllen [ J z , W ± ] = ± ( ℏ / 4 ) W ± . Die einzig möglichen Leiteroperatoren sind aus konstruiert J X Und J j Sind J ± , und ihre Vertauschungsbeziehungen sind [ J z , J ± ] = ± ℏ J ± , was bedeutet, dass benachbart M Werte unterscheiden sich um 1 . (Da wir nur haben J X , J j Und J z zu spielen, es ist nicht schwer, das zu zeigen [ J z , J ± ] = ± ℏ J ± : Beginnen Sie einfach mit einem Generikum J + = A L X + B L j und das wirst du finden B = ± ich A . Der tatsächliche Wert von A ist für die Berechnung der Verschiebung irrelevant M .)
  2. Es ist für einen Bediener möglich A ^ befriedigen (zum Beispiel) [ J z , A ^ ] = 2 ℏ A ^ . Ein Beispiel ist jeder Operator, der proportional zu ist ( X + ich j ) 2 . Die Aktion dieses Operators ändert sich M von + 2 ℏ Aber A ^ ist KEIN Drehimpulsoperator.
  3. Drehimpulsoperatoren haben eine Lie-algebraische Struktur, und aus der Darstellungstheorie der Lie-Algebren wissen wir, dass die Menge { | J M ⟩ } muss enthalten 2 J + 1 Elemente und muss enthalten M = J Und M = − J . Somit kann sich die Leiter durch Drehimpulsleiteroperatoren nur ändern M um eine Einheit von ℏ .
Warum garantieren sl(2,C)sl(2,C)sl(2,\mathbb{C}) Hebe- und Senkoperatoren J±J±J_{\pm} quantisierte Eigenwerte?
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