Wie kann der Mittelwert einer Größe ein Operator sein?

Question

Wie kann der Mittelwert einer Größe ein Operator sein?

Ruslan

In Laundau & Lifshitz Quantenmechanik. Nichtrelativistische Theorie in $\S29$ ein Problem ist gegeben:

PROBLEM Mittelung des Tensors $n_in_k-\frac13\delta_{ik}$ (Wo $\mathbf{n}$ ein Einheitsvektor entlang des Radiusvektors eines Partikels ist) über einem Zustand, in dem die Größe, aber nicht die Richtung des Vektors ist $\mathbf{l}$ gegeben ist (bzw $l_z$ ist unbestimmt).

Die Lösung beginnt dann damit (kursiv von mir):

$\def\sc#1{\dosc#1\csod} \def\dosc#1#2\csod{{\rm #1{\small #2}}} \sc{SOLUTION.}$ Der erforderliche Mittelwert ist ein Operator , der durch den Operator ausgedrückt werden kann $\mathbf{\hat l}$ allein. Wir suchen es in der Form

$\bar{N_{ich} N_{k}} - \frac{1}{3} δ_{ich k} = A [{\hat{l}}_{ich} {\hat{l}}_{k} + {\hat{l}}_{k} {\hat{l}}_{ich} - \frac{2}{3} δ_{ich k} l (l + 1)];$ $\overline{n_in_k}-\frac13\delta_{ik}=a[\hat l_i\hat l_k+\hat l_k\hat l_i-\frac23\delta_{ik}l(l+1)];$

dies ist der allgemeinste symmetrische Tensor vom zweiten Rang mit Nullspur, der aus den Komponenten von gebildet werden kann $\mathbf{\hat l}$ . ...

Was mich verwirrt, ist der kursive Teil: "Mittelwert ist ein Operator". Soweit ich weiß, Mittelwert in einem bestimmten Zustand $|\psi\rangle$ einer Menge $\kappa$ wird von gegeben

\bar{κ} = ⟨ ψ | \hat{κ} | ψ ⟩ .

$\overline\kappa=\langle\psi|\hat\kappa|\psi\rangle.$

Hier $\overline\kappa$ ist kein Operator, aber $\hat\kappa$ Ist. Versuchen L&L, mit ihrer Aussage einen klareren Ausdruck abzukürzen? Oder verstehe ich etwas falsch?

hft

Vielleicht meinen sie, dass dies ein äquivalenter Operator ist, der im festen Raum agiert "

ℓ

$\ell$ ", aufgespannt durch Zustände unterschiedlicher "m", aus

- ℓ

$-\ell$ Zu

ℓ

$\ell$ ?

Sofia

@Ruslan - Ich habe im Buch von Landau und Lifschitz nachgesehen. Sie erklären Ihnen, wie Sie die Übung lösen. Ich bemerke nur, dass sie am Ende eine Formel geben, in der erscheint

\hat{{\vec{ℓ}}^{2}} = l (l + 1)

$\hat {{\vec {\ell}}^2} = l(l+1)$ . Natürlich ist ein Operator nicht gleich seinem Eigenwert. Aber was sie tun, da Ihnen das der Staat gesagt hat

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ ist ein Eigenwert von

\hat{{\vec{ℓ}}^{2}}

$\hat {{\vec {\ell}}^2}$ , und da sie das erreicht haben

\hat{k}

$\hat k$ bezüglich

\hat{{\vec{ℓ}}^{2}}

$\hat {{\vec {\ell}}^2}$ , das tun sie tatsächlich

⟨ ψ | \hat{k} | ψ ⟩

$\langle \psi|\hat k|\psi \rangle$ , Wo

\hat{k} | ψ ⟩

$\hat k |\psi\rangle$ wird durch den Eigenwert von ersetzt

\hat{k}

$\hat k$ mal

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ .

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Wie kann der Mittelwert einer Größe ein Operator sein?

Vielleicht meinen sie, dass dies ein äquivalenter Operator ist, der im festen Raum agiert " $\ell$ ", aufgespannt durch Zustände unterschiedlicher "m", aus $-\ell$ Zu $\ell$ ?
@Ruslan - Ich habe im Buch von Landau und Lifschitz nachgesehen. Sie erklären Ihnen, wie Sie die Übung lösen. Ich bemerke nur, dass sie am Ende eine Formel geben, in der erscheint $\hat {{\vec {\ell}}^2} = l(l+1)$ . Natürlich ist ein Operator nicht gleich seinem Eigenwert. Aber was sie tun, da Ihnen das der Staat gesagt hat $|\psi\rangle$ ist ein Eigenwert von $\hat {{\vec {\ell}}^2}$ , und da sie das erreicht haben $\hat k$ bezüglich $\hat {{\vec {\ell}}^2}$ , das tun sie tatsächlich $\langle \psi|\hat k|\psi \rangle$ , Wo $\hat k |\psi\rangle$ wird durch den Eigenwert von ersetzt $\hat k$ mal $|\psi\rangle$ .

QMechaniker · Answer 1

Lassen

\begin{matrix} (1) & {\hat{T}}_{ich k} := {\hat{N}}_{ich} {\hat{N}}_{k} - \frac{1}{3} δ_{ich k} \hat{1} . \end{matrix}

$\tag{1} \hat{T}_{ik}~:=~\hat{n}_i \hat{n}_k-\frac{1}{3}\delta_{ik}\hat{\bf 1}.$

Die Formulierung des Problems in Ref. 1 ist in der Tat nicht die klarste, aber im Vergleich mit der gegebenen Lösung scheint es, dass Ref. 1 führt eine partielle Mittelung über den Hilbert-Zustandsraum mit festem Wert der Bahndrehimpuls-Quantenzahl durch $\ell$ und Beibehalten der magnetischen Quantenzahl $m$ als einsamer Unbestimmter. In der Praxis bedeutet dies eine Mittelung über eine radiale Richtung.

Mit anderen Worten, Ref. 1 betrachtet ein Irreduzibles $(2\ell+1)$ -dimensionale Darstellung $R$ der Operatoralgebra [und der Lie-Gruppe $SO(3)$ ], mit einem Vektorraum $V$ , durch Vektoren aufgespannt $|\ell m \rangle$ , $m\in\{-\ell,\ldots,\ell\}$ . Wenn wir das Mittelungsverfahren mit einem Überstrich bezeichnen, haben wir

\begin{matrix} (2) & \bar{{\hat{T}}_{ich k}} = R ({\hat{T}}_{ich k}), {\hat{ℓ}}_{ich} := R ({\hat{L}}_{ich}) . \end{matrix}

$\tag{2} \overline{\hat{T}_{ik}}~=~R(\hat{T}_{ik}), \qquad \hat{\ell}_i~:=~R(\hat{L}_i).$

Wir möchten die Matrixelemente berechnen

\begin{matrix} (3) & ⟨ ℓ M | \bar{{\hat{T}}_{ich k}} | ℓ M^{'} ⟩ = ⟨ ℓ M | R ({\hat{T}}_{ich k}) | ℓ M^{'} ⟩ = F_{ich k} (ℓ, M, M^{'}), \end{matrix}

$\tag{3}\langle \ell m | \overline{\hat{T}_{ik}}|\ell m^{\prime} \rangle ~=~\langle \ell m |R(\hat{T}_{ik})|\ell m^{\prime} \rangle ~=~f_{ik}(\ell,m,m^{\prime}),$

das sind einige Funktionen von $i,k,\ell,m,m^{\prime}$ . Anstatt Matrixelemente zu betrachten, können wir den Operator/die Matrix betrachten $R(\hat{T}_{ik})\in{\rm End}(V)$ . Es ist selbstverständlich, das anzunehmen

\begin{matrix} (4) & R ({\hat{T}}_{ich k}) = \sum_{M, M^{'}} | ℓ M ⟩ ⟨ ℓ M | R ({\hat{T}}_{ich k}) | ℓ M^{'} ⟩ ⟨ ℓ M^{'} | = {\hat{F}}_{ich k} ({\hat{ℓ}}_{1}, {\hat{ℓ}}_{2}, {\hat{ℓ}}_{3}; ℓ) . \end{matrix}

$\tag{4}R(\hat{T}_{ik})~=~\sum_{m,m^{\prime}}|\ell m \rangle\langle \ell m |R(\hat{T}_{ik})|\ell m^{\prime} \rangle\langle \ell m^{\prime} | ~=~\hat{f}_{ik}(\hat{\ell}_1,\hat{\ell}_2,\hat{\ell}_3;\ell).$

Aus der Tensorstruktur folgt, dass $R(\hat{T}_{ik})$ muss die Form haben

\begin{matrix} (5) & R ({\hat{T}}_{ich k}) \propto {{\hat{ℓ}}_{ich}, {\hat{ℓ}}_{k}}_{+} - \frac{2}{3} δ_{ich k} ℓ (ℓ + 1) \hat{1} . \end{matrix}

$\tag{5}R(\hat{T}_{ik})~\propto~\{\hat{\ell}_i,\hat{\ell}_k\}_{+}-\frac{2}{3}\delta_{ik}\ell(\ell+1)\hat{\bf 1}.$

Siehe Ref. 1 für weitere Details.

Verweise:

LD Landau & EM Lifschitz, QM, Bd. 3, 3. Auflage, 1981; $\S29$ .

Hmm, ich verstehe nicht ganz, worüber wir mitteln. So wie es jetzt aussieht $l$ ist immer noch ein Parameter von $\overline{\hat T_{ik}}$ . So wie ich das Verfahren verstanden habe, ist es so etwas wie ein Wechsel zu einer Basis, wo $\hat T_{ik}$ ist blockdiagonal und wählt einen dieser Blöcke aus (irreps) $R_l(\hat T_{ik})$ , ausgedrückt in Form von $R_l(\hat L_i)$ , und dann zurück zur ursprünglichen Basis. Ist es richtig?
Danke, das ist etwas klarer. Bedeutet "Mittelung über eine radiale Richtung" also tatsächlich "Mittelung über radiale Quantenzahlen", wie hier $⟨ l M | \bar{{\hat{T}}_{ich k}} | l M^{'} ⟩ = \sum_{N} ⟨ N l M | {\hat{T}}_{ich k} | N l M^{'} ⟩ ?$ $\langle lm|\overline{\hat T_{ik}}|lm'\rangle=\sum_n\langle nlm|\hat T_{ik}|nlm'\rangle?$ Oder meinst du eigentlich ein Integral über die Richtung des Konfigurationsraums? $r$ ? (Oder vielleicht ist es irgendwie dasselbe und ich verwechsle etwas?)

Emilio Pisanty · Answer 2

Entschuldigung, ich habe die Frage nicht genau gelesen. Ich lasse meine alte Antwort unten, da sie direkt auf den Titel antwortet und daher zukünftigen Ankömmlingen helfen kann.

Dies scheint eine etwas schlampige Sprache zu sein (obwohl ich es nicht unbedingt L & L vorwerfen würde, wenn es nicht im russischen Original vorhanden ist, aber meine spanische Kopie hat eine äquivalente Form). Ich würde den Text so lesen

Der erforderliche Mittelwert ist der eines Operators, der durch den Operator ausgedrückt werden kann $\mathbf{\hat l}$ allein.

Dies ist in der Tat eine korrekte Aussage, obwohl Sie dafür eine ziemlich klobige Maschinerie benötigen. Die Wellenfunktion $\psi(\mathbf r)$ kann in eine aufgeteilt werden $r$ -abhängiger Teil und eine Wellenfunktion auf der Einheitskugel. Die Komponenten $n_i$ sind gleich den Kugelflächenfunktionen auf der Kugel, was bedeutet, dass sie eine Funktion der Komponenten des Drehimpulses sind. Ihr Produkt ist daher in der Algebra enthalten, aber da es sich auf eine bestimmte Weise transformiert, wird es auf die von L&L behaupteten Kombinationen reduziert.

Ihre Gleichung

$\bar{N_{ich} N_{k}} - \frac{1}{3} δ_{ich k} = A [{\hat{l}}_{ich} {\hat{l}}_{k} + {\hat{l}}_{k} {\hat{l}}_{ich} - \frac{2}{3} δ_{ich k} l (l + 1)]$ $\overline{n_in_k}-\frac13\delta_{ik}=a[\hat l_i\hat l_k+\hat l_k\hat l_i-\frac23\delta_{ik}l(l+1)]$

hat definitiv Operatoren auf beiden Seiten, daher denke ich, dass es ziemlich sicher ist, dies einer Sprach- (oder sogar Übersetzungs-) Eigenart zuzuordnen.

Jede komplexe Zahl kann als Operator angesehen werden.

Genauer gesagt jede komplexe Zahl $z$ wirkt auf Staaten $|\psi\rangle\in\mathcal H$ auf natürliche Weise durch Skalarmultiplikation:

| ψ ⟩ \mapsto z | ψ ⟩ .

$|\psi\rangle\mapsto z|\psi\rangle.$ Dieser Operator ist die natürliche Einbettung von

z

$z$ in den Raum der linearen Operatoren auf

H

$\mathcal H$ . Wie Landau und Lifshitz bemerken, ist dies einfach

z

$z$ mal ¹ der Identitätsoperator

1

$\mathbf 1$ , die alle sendet

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ zu sich selbst.

Viel mehr ist eigentlich nicht drin. Sie wenden dieses allgemeine Konzept nur auf die spezifische komplexe Zahl an $\overline\kappa\in\mathbb C$ .

^{¹ Wobei „mal“ natürlich die Skalarmultiplikation ist $\mathcal L(\mathcal H)$ wenn es als Vektorraum betrachtet wird.}

@EmilioPisanty leider ist dies nicht das Problem, siehe meine Bemerkung. Das Buch war in der Tat ein bisschen nicht streng und setzte einen Operator mit seinem Eigenwert gleich.

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