Ist die Eigenfunktion für den Drehimpulsoperator eindeutig?

Ich möchte wissen, ob die Kommutierungsrelation für den Drehimpuls,

[ J a , J β ] = ich ℏ ϵ a β γ J γ
reicht aus, um seinen einzigartigen Eigenzustand des Spins zu definieren, | S , M ⟩ .

Soweit ich weiß, reicht die Beziehung aus, um den Leiteroperator zu definieren J ± .
Bei Bahndrehimpuls L, ode L + ψ T = 0 Und L − ψ B = 0 definiert einen eindeutigen Zustand, wodurch die gesamte Leiter eindeutig definiert wird | l , M ⟩ .

Beim Spin liegt der Zustandsvektor jedoch im abstrakten Raum, so die Gleichung S + ψ T = 0 Und S − ψ B = 0 kann die Eindeutigkeit von nicht garantieren ψ T Und ψ B . Außerdem die Relation S z ( S + | S , M ⟩ ) = ( M + ℏ ) ( S + | S , M ⟩ ) zeigt, dass S + | S , M ⟩ ist einer der Eigenzustände für S z mit Eigenwert M + ℏ , aber dies ist möglicherweise nicht eindeutig.
Gibt es da nicht die Möglichkeit S 2 Und S z haben Sie eine gewisse Entartung? Wenn dies der Fall ist, deckt die Quantenleiter möglicherweise nicht die gesamte Basis ab S 2 Und S z .

Ich denke, diese Möglichkeiten zu ignorieren und diese Verfahren als einzigartige Konstruktion zu betrachten | J , M J ⟩ wird reichen, aber ich will eine strenge Demonstration. Hat das etwas mit der Generatornatur des Drehimpulses zu tun?

Bearbeiten) Unter Berücksichtigung eines anderen Index k, z. B. Position \vecr , ergibt einen Zustandsvektor ψ ( R ) | S , M ⟩ wodurch Eigenvektoren mit gleichem Eigenwert sowie unterschiedlicher räumlicher Komponente erzeugt werden ψ ( R ) gegeben ist.

Was ich mich genau frage, ist:
Die Standardtheorie für den Drehimpuls, ausgehend von der Kommutierungsbeziehung, wird am Ende die Existenz eines Eigenzustands argumentieren | J , M J ⟩ , befriedigend

J 2 | J , M J ⟩ = J ( J + 1 ) ℏ | J , M J ⟩ J z | J , M J ⟩ = M J ℏ | J , M J ⟩
Ich frage mich, ob es möglich ist, zu finden | J , M J ⟩ ' ohne einen anderen Index einzuführen.
Im Fall des Drehimpulses L ist es möglich, die Eigenwertgleichung direkt zu lösen, um die eindeutige Lösung (sphärische Harmonische) zu finden, sodass das Problem, das ich mich frage, im Fall des Spins S auftritt, bei dem die algebraische Beziehung die einzige Einschränkung ist.

Antworten (1)

Ja, es ist möglich, dass es eine gewisse Entartung gibt. Wenn Sie beispielsweise einen dreidimensionalen harmonischen Oszillator oder ein Elektron in einem Coulomb-Potential oder ein anderes kugelsymmetrisches Problem (außer einem Quantenrotor) betrachten, können Sie sicherlich Drehimpulsoperatoren definieren S a diese Kommutierungsbeziehungen befolgen, aber jedem gegebenen Zustand sind mehrere Zustände zugeordnet S , M aufgrund der Radialbewegung.

Es tut mir leid, aber sind diese Zustände nicht nur ein Vielfaches der radialen Komponente R(r) und der sphärischen Harmonischen |l m>? Da |l m> keine Funktion von r ist, könnten diese Zustände in diesem Fall als konstantes Vielfaches von |l m> betrachtet werden, denke ich ... Ich frage mich, ob es einen nicht trivialen degenerierten Fall gibt, also werde ich es bearbeiten meine Frage.
@ user291938, Sie können nicht als 'Vielfaches' von |l,m> betrachtet werden, sie sind unterschiedliche Zustände, aber sie haben die gleichen Werte von l , M . Ja, es ist trivial, aber das ist die Antwort auf Ihre Frage. Wenn man sich nur die Drehimpulsoperatoren ansieht, kann man nicht feststellen, ob eine Entartung vorliegt oder nicht.
Ist die Eigenfunktion für den Drehimpulsoperator eindeutig?
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