Bahndrehimpuls-Eigenzustände in der |r⟩|r⟩|\mathbf{r}\rangle-Darstellung

Question

Bahndrehimpuls-Eigenzustände in der |r⟩|r⟩|\mathbf{r}\rangle-Darstellung

Gold

Betrachten Sie die Bahndrehimpulsoperatoren $L^2$ Und $L_z$ . Im $|\mathbf{r}\rangle$ Darstellung unter Verwendung von sphärischen Koordinaten, durch die die Aktionen der Operatoren gegeben sind

L^{2} φ (R) = - ℏ^{2} (\frac{\partial^{2}}{\partial θ^{2}} + \frac{1}{bräunen θ} \frac{\partial}{\partial θ} + \frac{1}{{Sünde}^{2} θ} \frac{\partial^{2}}{\partial ϕ^{2}}) φ (R)

$L^2\varphi(\mathbf{r})=-\hbar^2\left(\dfrac{\partial^2}{\partial\theta^2}+\dfrac{1}{\tan \theta} \dfrac{\partial}{\partial \theta}+\dfrac{1}{\sin^2\theta}\dfrac{\partial^2}{\partial\phi^2}\right)\varphi(\mathbf{r})$

L_{z} φ (R) = - ich ℏ \frac{\partial}{\partial ϕ} φ (R) .

$L_z\varphi(\mathbf{r})=-i\hbar \dfrac{\partial}{\partial \phi}\varphi(\mathbf{r}).$

Nun, das wissen wir $[L^2,L_z]=0$ so dass es möglich ist, eine Basis des Zustandsraums simultaner Eigenzustände von beiden zu konstruieren $L^2$ Und $L_z$ . Wir wissen auch, dass die Eigenwerte von $L^2$ sind von der Form $l(l+1)\hbar^2$ mit $l$ ganzzahlig oder halbzahlig. Andererseits sind die Eigenwerte von $L_z$ sind von der Form $m\hbar$ und mit fest $l$ wir haben das $m$ kann nur die Werte annehmen $-l,-l+1,\dots,l-1,l$ . Die simultanen Eigenwertgleichungen sind dann

L^{2} ψ (R, θ, ϕ) = l (l + 1) ℏ^{2} ψ (R, θ, ϕ)

$L^2\psi(r,\theta,\phi)=l(l+1)\hbar^2\psi(r,\theta,\phi)$

L_{z} ψ (R, θ, ϕ) = M ℏ ψ (R, θ, ϕ)

$L_z\psi(r,\theta,\phi)=m\hbar \psi(r,\theta,\phi)$

Nun, das Buch, das ich studiere (Cohens Quantenmechanik-Buch) sagt Folgendes:

In den Eigenwertgleichungen gilt $r$ kommt in keinem Differentialoperator vor, also können wir ihn als Parameter betrachten und *nur den berücksichtigen $\theta$ - Und $\phi$ -Abhängigkeit von $\psi$ . Daher bezeichnen wir mit $Y_l^m(\theta,\phi)$ eine gemeinsame Eigenfunktion von $L^2$ Und $L_z$ was den Eigenwerten entspricht $l(l+1)\hbar^2$ Und $m\hbar$ .

$L^{2} Y_{l}^{M} (θ, ϕ) = l (l + 1) ℏ^{2} Y_{l}^{M} (θ, ϕ)$ $L^2Y^m_l(\theta,\phi) = l(l+1)\hbar^2Y^m_l(\theta,\phi)$

$L_{z} Y_{l}^{M} (θ, ϕ) = M ℏ Y_{l}^{M} (θ, ϕ)$ $L_zY^m_l(\theta,\phi)=m\hbar Y^m_l(\theta,\phi)$

Diese Gleichungen geben die $\theta$ - Und $\phi$ -Abhängigkeit der Eigenfunktionen von $L^2$ Und $L_z$ . Einmal die Lösungen $Y^m_l(\theta,\phi)$ dieser Gleichungen gefunden wurde, werden diese Eigenfunktionen in der Form erhalten:

$ψ_{l, M} (R, θ, ϕ) = F (R) Y_{l}^{M} (θ, ϕ)$ $\psi_{l,m}(r,\theta,\phi)=f(r)Y^m_l(\theta,\phi)$

Wo $f(r)$ ist eine Funktion von $r$ die als n Integrationskonstante für die partielle Differentialgleichung erscheint.

Nun, ich sehe nicht, wie der Autor das gegeben schließt $l$ Und $m$ die Eigenfunktion $\psi_{l,m}$ ist von der Form $\psi_{l,m}(r,\theta,\phi) = f(r)Y^m_l(\theta,\phi)$ . Diese Schlussfolgerung aus dem Nichts zu kommen. So wie die Dinge geschrieben stehen, scheint es so $Y^m_l$ ist per Definition die entsprechende Eigenfunktion $l$ Und $m$ . Aber dann stellt der Autor fest, dass die Eigenfunktion wirklich ist $\psi_{l,m}(r,\theta,\phi)=f(r)Y^l_m(\theta,\phi)$ .

Tatsächlich definieren die Gleichungen die Eigenfunktionen von $L^2$ Und $L_z$ sind Differentialgleichungen. Von diesem Punkt aus betrachtet, $\psi_{l,m}$ ist die Form einer trennbaren Lösung. Aber es gibt solche, die nicht trennbar sind.

Im Allgemeinen, wenn man bedenkt, wie der Autor die Dinge präsentiert hat, wie schließt er die allgemeine Form der Eigenfunktionen und was ist sein Punkt beim Aufrufen $Y^m_l$ die Winkelabhängigkeit der Eigenfunktionen

ACuriousMind

Ich bin mir nicht sicher, was genau dir hier unklar ist. Sie kennen das Spektrum für

L_{z}

$L_z$ Und

L^{2}

$L^2$ . Der

ψ_{l, m}

$\psi_{l,m}$ sind Eigenfunktionen für jeden möglichen Eigenwert. Warum behaupten Sie also, dass es nicht separierbare Eigenfunktionen geben könnte? Schreiben einer allgemeinen nicht trennbaren Funktion als

\sum_{i} f_{i} (r) Y_{m_{i}}^{l_{i}} (θ, ϕ)

$\sum_i f_i(r) Y^{l_i}_{m_i}(\theta,\phi)$ , sollten Sie sehen können, dass nur die separierbaren Eigenfunktionen sind.

Prahar

Der Autor spricht in erster Linie von der Eigenfunktion von

\nabla^{2}

$\nabla^2$ in sphärischen Koordinaten, die alle 3 Koordinaten umfasst

(r, θ, ϕ)

$(r,\theta,\phi)$ . Diese Eigenfunktion bezeichnet er als

ψ (r, θ, ϕ)

$\psi(r,\theta,\phi)$ . Als nächstes verwendet er die explizite Form von

\nabla^{2}

$\nabla^2$ in sphärischen Koordinaten und zeigt, dass es in ein reines Stück zerlegt werden kann

r

$r$ abhängig und ein Stück, das rein ist

(θ, ϕ)

$(\theta,\phi)$ abhängig. Letzteres erweist sich als einfach

L^{2}

$L^2$ . Er schließt daraus, dass die volle Eigenfunktion

ψ

$\psi$ kann aus Eigenfunktionen von konstruiert werden

L^{2}

$L^2$ , nämlich

Y_{l}^{m}

$Y^m_l$ .

Antworten (1)

Bahndrehimpuls-Eigenzustände in der |r⟩|r⟩|\mathbf{r}\rangle-Darstellung

Ich bin mir nicht sicher, was genau dir hier unklar ist. Sie kennen das Spektrum für $L_z$ Und $L^2$ . Der $\psi_{l,m}$ sind Eigenfunktionen für jeden möglichen Eigenwert. Warum behaupten Sie also, dass es nicht separierbare Eigenfunktionen geben könnte? Schreiben einer allgemeinen nicht trennbaren Funktion als $\sum_i f_i(r) Y^{l_i}_{m_i}(\theta,\phi)$ , sollten Sie sehen können, dass nur die separierbaren Eigenfunktionen sind.
Der Autor spricht in erster Linie von der Eigenfunktion von $\nabla^2$ in sphärischen Koordinaten, die alle 3 Koordinaten umfasst $(r,\theta,\phi)$ . Diese Eigenfunktion bezeichnet er als $\psi(r,\theta,\phi)$ . Als nächstes verwendet er die explizite Form von $\nabla^2$ in sphärischen Koordinaten und zeigt, dass es in ein reines Stück zerlegt werden kann $r$ abhängig und ein Stück, das rein ist $(\theta,\phi)$ abhängig. Letzteres erweist sich als einfach $L^2$ . Er schließt daraus, dass die volle Eigenfunktion $\psi$ kann aus Eigenfunktionen von konstruiert werden $L^2$ , nämlich $Y^m_l$ .

glS · Answer 1

Wir wissen das $\psi_{l,m}$ erfüllt, für jeden $l$ Und $m$ , die Gleichungen

L^{2} ψ_{l, M} (R, θ, ϕ) = l (l + 1) ℏ^{2} ψ_{l, M} (R, θ, ϕ),

$L^2\psi_{l,m}(r,\theta,\phi)=l(l+1)\hbar^2\psi_{l,m}(r,\theta,\phi),$

L_{z} ψ_{l, M} (R, θ, ϕ) = M ℏ ψ_{l, M} (R, θ, ϕ) .

$L_z\psi_{l,m}(r,\theta,\phi)=m\hbar \psi_{l,m}(r,\theta,\phi).$

Aber wir wissen auch, dass per Definition $Y_{l, m}(\theta, \phi)$ die gleichen Gleichungen erfüllen .

Dann, es sei denn, die Eigenwertgleichungen für $Y_{l,m}$ entartet sind, was sich durch Lösen der Differentialgleichungen nicht beweisen lässt, müssen wir darauf schließen $\psi_{l,m}$ Und $Y_{l,m}$ sind gleich, abgesehen von einem "konstanten" Faktor, der nicht davon abhängt $\theta$ oder $\phi$ , hängt aber davon ab $r$ . Der Autor fährt dann einfach damit fort, diesen noch unbekannten Faktor zu nennen $f(r)$ .

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Gold

ACuriousMind

Prahar

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glS

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