Über Addition von Drehimpuls und innerem Produkt

Question

Über Addition von Drehimpuls und innerem Produkt

ric.san

Angenommen, ich habe zwei Quantensysteme, die Drehimpulsen zugeordnet sind $J_1$ Und $J_2$ bzw.

Mit dem Operator kann ich den Drehimpuls des Gesamtsystems definieren $J$ Einwirken auf $\scr H:={\scr H_1 \otimes H_2}$ , definiert als $J := J_1 \otimes \mathbb I_2 + \mathbb I_1 \otimes J_2$ , Wo $\mathbb I$ ist der Identitätsoperator.
Das innere Produkt $\langle .,. \!\rangle : {\scr H \otimes H} \to \mathbb C$ ist definiert als $\langle\psi, \phi\rangle = \langle \psi_1 \otimes \psi_2, \phi_1 \otimes \phi_2\rangle = \langle \psi_1, \phi_1 \!\rangle _1 \langle \psi_2, \phi_2 \!\rangle _2$ , Wo $\langle .,. \!\rangle_1$ Und $\langle ., .\!\rangle_2$ sind die inneren Produkte auf definiert $\scr H_1$ Und $\scr H_2$ bzw.

Frage . Wie ist $J^2$ definiert?

Nach der vorherigen Definition $J^2 = J \cdot J = \left ( J_1 \otimes \mathbb I_2 + \mathbb I_1 \otimes J_2 \right ) \cdot \left ( J_1 \otimes \mathbb I_2 + \mathbb I_1 \otimes J_2 \right ) = \\ \underbrace{(J_1 \otimes \mathbb I_2) \cdot (J_1 \otimes \mathbb I_2)}_{J_1^2} + \underbrace{(J_1 \otimes \mathbb I_2) \cdot (\mathbb I_1 \otimes J_2)}_{J_1 \cdot J_2} + \underbrace{(\mathbb I_1 \otimes J_2) \cdot (J_1 \otimes \mathbb I_2)}_{J_2 \cdot J_1} + \underbrace{(\mathbb I_1 \otimes J_2) \cdot (\mathbb I_1 \otimes J_2)}_{J_2^2}$

Was soll das alles heißen? Ich weiß, wie sich das Skalarprodukt mit Vektoren verhält, aber nicht mit linearen Operatoren ...

Tobias Fünke

Beachten Sie, dass

(A \otimes B) (C \otimes D) = (A C) \otimes (B D)

$(A \otimes B) (C \otimes D) = (AC) \otimes (BD)$ . Könnten Sie Ihre Frage präzisieren? 'Was soll das alles heißen?' ist eine sehr weit gefasste Frage.

aneet kumar

Können Sie angeben, woran Sie zweifeln?

ZeroTheHero

J^{2} = J_{x}^{2} + J_{y}^{2} + J_{z}^{2}

$J^2=J_x^2+J_y^2+J_z^2$ Wo

J_{x} = J_{x} \otimes I + I \otimes J_{x}

$J_x=J_x\otimes \mathbb{I} + \mathbb{I}\otimes J_x$ usw. in Ihrer Notation.

ric.san

@Jacob Sie haben die Zusammensetzung zweier Operatoren geschrieben, nicht ihr inneres Produkt, denke ich. Ich frage mich, wie man rechnet

(A \otimes B) \cdot (C \otimes D)

$(A \otimes B) \cdot (C \otimes D)$

ric.san

@ZeroTheHero ja, ich würde nur sehen, wie man es aus der Definition von ableitet

J

$J$ .

Tobias Fünke

Siehe zum Beispiel diesen oder diesen verwandten Beitrag und die Definition, die @ZeroTheHero gegeben hat. Ich wollte Sie darauf hinweisen, dass Ihnen bei der Berechnung ein Fehler unterlaufen ist, z. B. ist der erste Term Ihrer letzten Zeile falsch (es muss ein Operator auf dem Tensor-Hilbert-Raum sein, also

J_{1}^{2} \otimes I_{2}

$J_1^2 \otimes \mathbb{I}_2$ ).

ZeroTheHero

Beachten Sie, dass es darauf hinausläuft

J_{1}^{2} + J_{2}^{2} + 2 J_{1} \cdot J_{2}

$J_1^2+J_2^2+2 J_1\cdot J_2$ Wo

J_{1} \cdot J_{2} = J_{1 x} J_{2 x} + J_{1 y} J_{2 y} + J_{1 z} J_{2 z}

$J_1\cdot J_2=J_{1x}J_{2x}+J_{1y}J_{2y}+J_{1z}J_{2z}$ mit

J_{1 x} = J_{x} \otimes I

$J_{1x}=J_x\otimes \mathbb{I}$ usw. _

ric.san

Danke, das war eigentlich mein zweiter Zweifel. Du hast geschrieben

2 J_{1} \cdot J_{2}

$2 J_1 \cdot J_2$ , also der Kommutator

[J_{1}, J_{2}]

$[J_1, J_2]$ sollte null sein. Aber ist es wahr? Auch für zwei interagierende Systeme?

ric.san

Ich habe einen Kommentar in dem verwandten Beitrag von @Jakob vorgeschlagen hinzugefügt: physical.stackexchange.com/questions/422369/…

Frobenius

Siehe meine VIERTE H___-ANTWORT hier: Gesamtspin von zwei Spin-1/2-Partikeln . Besonders alle nach Gleichung (68).

ZeroTheHero

ja der Kommutator ist

0

$0$ seit

J_{1 x}

$J_{1x}$ Und

J_{2 x}

$J_{2x}$ usw. agieren in verschiedenen Räumen.

Antworten (1)

Über Addition von Drehimpuls und innerem Produkt

Beachten Sie, dass $(A \otimes B) (C \otimes D) = (AC) \otimes (BD)$ . Könnten Sie Ihre Frage präzisieren? 'Was soll das alles heißen?' ist eine sehr weit gefasste Frage.
$J^2=J_x^2+J_y^2+J_z^2$ Wo $J_x=J_x\otimes \mathbb{I} + \mathbb{I}\otimes J_x$ usw. in Ihrer Notation.
@Jacob Sie haben die Zusammensetzung zweier Operatoren geschrieben, nicht ihr inneres Produkt, denke ich. Ich frage mich, wie man rechnet $(A \otimes B) \cdot (C \otimes D)$
@ZeroTheHero ja, ich würde nur sehen, wie man es aus der Definition von ableitet $J$ .
Siehe zum Beispiel diesen oder diesen verwandten Beitrag und die Definition, die @ZeroTheHero gegeben hat. Ich wollte Sie darauf hinweisen, dass Ihnen bei der Berechnung ein Fehler unterlaufen ist, z. B. ist der erste Term Ihrer letzten Zeile falsch (es muss ein Operator auf dem Tensor-Hilbert-Raum sein, also $J_1^2 \otimes \mathbb{I}_2$ ).
Beachten Sie, dass es darauf hinausläuft $J_1^2+J_2^2+2 J_1\cdot J_2$ Wo $J_1\cdot J_2=J_{1x}J_{2x}+J_{1y}J_{2y}+J_{1z}J_{2z}$ mit $J_{1x}=J_x\otimes \mathbb{I}$ usw. _
Danke, das war eigentlich mein zweiter Zweifel. Du hast geschrieben $2 J_1 \cdot J_2$ , also der Kommutator $[J_1, J_2]$ sollte null sein. Aber ist es wahr? Auch für zwei interagierende Systeme?
Ich habe einen Kommentar in dem verwandten Beitrag von @Jakob vorgeschlagen hinzugefügt: physical.stackexchange.com/questions/422369/…
Siehe meine VIERTE H___-ANTWORT hier: Gesamtspin von zwei Spin-1/2-Partikeln . Besonders alle nach Gleichung (68).
ja der Kommutator ist $0$ seit $J_{1x}$ Und $J_{2x}$ usw. agieren in verschiedenen Räumen.

Tobias Fünke · Answer 1

Vielleicht hilft es, all diese Dinge expliziter aufzuschreiben:

Lassen Sie uns zunächst definieren

J \equiv J_{1} \otimes {ICH}_{2} + {ICH}_{1} \otimes J_{2}

$J\equiv J_1 \otimes \mathbb{I}_2 + \mathbb{I}_1 \otimes J_2$ Und

J^{2} \equiv J_{X}^{2} + J_{j}^{2} + J_{z}^{2},

$J^2 \equiv J_x^2 + J_y^2 + J_z^2 \quad ,$ wofür die analoge Definition gelten sollte

J_{1}

$J_1$ Und

J_{2}

$J_2$ . Definieren Sie außerdem für

k = x, y, z

$k=x,y,z$ :

J_{k} \equiv (J_{1})_{k} \otimes {ICH}_{2} + {ICH}_{1} \otimes (J_{2})_{k}

$J_k \equiv (J_1)_k \otimes \mathbb I_2 + \mathbb I_1 \otimes (J_2)_k$

und lass uns rechnen

\begin{aligned} J_{k}^{2} \equiv J_{k} J_{k} & = ((J_{1})_{k} \otimes {ICH}_{2} + {ICH}_{1} \otimes (J_{2})_{k}) ((J_{1})_{k} \otimes {ICH}_{2} + {ICH}_{1} \otimes (J_{2})_{k}) \\ = (J_{1})_{k} (J_{1})_{k} \otimes {ICH}_{2} + {ICH}_{1} \otimes (J_{2})_{k} (J_{2})_{k} + 2 (J_{1})_{k} \otimes (J_{2})_{k} . \end{aligned}

$\begin{align} J_k^2 \equiv J_k \, J_k &= \left((J_1)_k \otimes \mathbb{I}_2 + \mathbb{I}_1 \otimes (J_2)_k\right) \, \left((J_1)_k \otimes \mathbb{I}_2 + \mathbb{I}_1 \otimes (J_2)_k\right) \\ &= (J_1)_k \, (J_1)_k \otimes \mathbb{I}_2 + \mathbb{I}_1 \otimes (J_2)_k\, (J_2)_k + 2\, (J_1)_k \otimes (J_2)_k \quad . \end{align}$

Fügen Sie die drei Beiträge aus $k=x,y,z$ Erträge

J^{2} = J_{1}^{2} \otimes {ICH}_{2} + {ICH}_{1} \otimes J_{2}^{2} + 2 J_{1} \cdot J_{2},

$J^2 = J_1^2 \otimes \mathbb{I}_2 + \mathbb{I}_1 \otimes J_2^2 + 2\, J_1 \cdot J_2 \quad ,$

wo wir definiert haben

J_{1} \cdot J_{2} \equiv (J_{1})_{X} \otimes (J_{2})_{X} + (J_{1})_{j} \otimes (J_{2})_{j} + (J_{1})_{z} \otimes (J_{2})_{z} .

$J_1 \cdot J_2 \equiv (J_1)_x \otimes (J_2)_x + (J_1)_y \otimes (J_2)_y+ (J_1)_z \otimes (J_2)_z \quad .$

ist nicht die Definition von $J^2$ kollidiert mit dem von $J_1 \cdot J_2$ ? Konkret Einstellung $1=2$ , wir erhalten $J \cdot J = J_x \otimes J_x + J_y \otimes J_y + J_z \otimes J_z$ , aber jeder von ihnen ist nicht gleich $J_x^2 + J_y^2 + J_z^2 = J^2$ .
Ich verstehe nicht. Könnten Sie bitte näher darauf eingehen? Die Gleichung gilt auch für den Fall von $J_1=J_2\equiv L$ . Dann $J^2 = L^2 \otimes \mathbb I + \mathbb I \otimes L^2 + 2\, L \cdot L$ .
$J_x \otimes J_x \neq J_x J_x = J_x^2$ und ähnlich für die anderen Komponenten. Es folgt $J \cdot J \neq J^2$ .
Ich denke, Ihr Problem liegt an der Notation. Für $L\equiv J_1 =J_2$ , also den Fall, dass beide Drehimpulse gleich sind, haben wir das $(J_x)^2 = (L_x)^2 \otimes \mathbb I + \mathbb I \otimes (L_x)^2 + 2 L_x \otimes L_x$ , wie die obigen Berechnungen zeigen.

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