Wie ist das Produkt L⋅SL⋅SL\cdot S zwischen Bahn- und Spindrehimpulsoperatoren definiert? Wirken sie auf denselben oder auf unterschiedliche Hilbert-Räume?

Sind bei einem Elektron die Hilbert-Räume für den Spindrehimpuls und den Bahndrehimpuls gleich oder unterschiedlich? Wenn sie unterschiedlich sind, wie rechtfertigen wir den Operator L ⋅ S in der Spin-Bahn-Kopplung?

Auch für die Kopplung von 2 Spins, was wird der Hilbert-Raum berücksichtigt? Ist es C 2 ⊗ C 2 wie ich denke, dass es sein sollte oder anders? Wenn es meiner Meinung nach so sein sollte, was bedeutet der Operator S 1 ⋅ S 2 ?

Antworten (1)

Für beide Situationen, die Sie in Betracht ziehen, sind die Vektorräume unterschiedlich, und der gemeinsame Zustandsraum ist das Tensorprodukt der einzelnen Vektorräume.

Um Operatoren auf diesem Raum zu beschreiben, verwenden wir einfach das Tensorprodukt von Operatoren: if L ^ z : H Ö R B → H Ö R B Und S ^ z : H S P ich N → H S P ich N , dann ihr Tensorprodukt

L ^ z ⊗ S ^ z : H Ö R B ⊗ H S P ich N → H Ö R B ⊗ H S P ich N
wird eindeutig durch seine Wirkung auf Produktzustände definiert
( L ^ z ⊗ S ^ z ) | ψ ⟩ ⊗ | ϕ ⟩ = ( L ^ z | ψ ⟩ ) ⊗ ( S ^ z | ϕ ⟩ )
und durch Linearität.

Zusätzlich zu dieser Struktur betrachten wir häufig Vektoroperationen an den Vektorzeichen dieser Operatoren, einschließlich insbesondere ihres Skalarprodukts

L ^ ⋅ ⊗ S ^ = ∑ J = 1 3 L ^ J ⊗ S ^ J .
Dies ist insofern ein legitimes Skalarprodukt, als man zeigen kann, dass es nicht davon abhängt, auf welcher Basis die Komponenten genommen werden, da jede Komponente als Vektor transformiert wird und daher die üblichen Beweistechniken immer noch gelten.

Nun lassen wir in der Praxis normalerweise die expliziten Tensorproduktmarkierungen fallen ⊗ es sei denn, wir brauchen die Klarheit wirklich, denn die Struktur ergibt sich typischerweise aus dem Kontext (damit ein Produkt wie L ^ z S ^ z ist im Allgemeinen eindeutig) und die expliziten Markierungen fügen notatorische Masse hinzu und machen daher alles schwerer lesbar. Was Sie also normalerweise sehen werden, ist die Notation der Form

L ^ ⋅ S ^ = ∑ J = 1 3 L ^ J S ^ J .
in der die Tensorprodukte zwischen Operatoren, die auf verschiedene Sektoren des Zustandsraums wirken, implizit sind.

Ja du hast recht und genau das habe ich mir auch gedacht. Als ich jedoch über Austauschinteraktionen las, hatte es die folgenden Schritte: H = − ∑ ich , J J ich J S ich . S J + G μ B ∑ ich S ich . B = G μ B ∑ ich S ich . ( B + B ' ) , Wo B ' = − 2 G μ B ∑ J ( J ich J S J ) . Soweit ich weiß, wird ein Magnetfeld in diesem Fall nicht als Operator betrachtet, und selbst wenn, befindet es sich nicht im selben Raum wie der Spin B ' . Wenn ich also Ihre Definition für richtig halte (was intuitiv so scheint), dann muss diese Ableitung falsch sein, was zu einer falschen Formulierung des Ferromagnetismus führt
@Souradeep Der Bedienerstatus des Magnetfelds hängt vom Kontext ab; In dem von Ihnen zitierten Formalismus arbeiten Sie an einer effektiven Formulierung, in der die QED-Aspekte, auf die Sie sich beziehen, eliminiert wurden, sodass die Identifizierung von B ' als Betreiber abhängig von der S J ist vollkommen legitim. Nichts in Ihrem vorherigen Kommentar sieht falsch aus. (Es sei denn, was Sie stört, ist die Hinzufügung von B mit B ' ? Dort B ist nur ein C -number Skalar, der sich trivialerweise in diesen Skalar multipliziert mit jeder Identitätsmatrix auflöst, die Sie einbeziehen müssen. Es ist nichts falsch mit B + B ' .)
Oh ich verstehe. Wenn man also SB schreibt, impliziert das ∑ ich S ich ⊗ 1 B ich . Vielen Dank für die Klarstellung. Schätze es wirklich.
Genau - aber beachten Sie, dass es tatsächlich viel umfangreicher ist. Wenn du hast N Spins und Sie möchten eine vollständig rigorose Tensor-Produkt-Notation für S ich , was Sie wirklich schreiben sollten, ist 1 ⊗ ⋯ ⊗ 1 ⊗ S ich ⊗ 1 ⊗ ⋯ ⊗ 1 , mit ich − 1 Faktoren auf der linken Seite und N − ich − 2 Faktoren auf der rechten Seite, weil Ihr Hilbert-Raum der ist N -faches Tensorprodukt des Single-Spin-Zustandsraums und wenn Sie ganz streng sein wollen, müssen Sie angeben, dass die Aktion auf die anderen Fakten die Identität ist. Das meinte ich, als ich sagte, dass dies "Notationsmasse hinzufügt".
Ja, das ist genau der Formalismus, den ich für die obige Ableitung verwendet habe, nachdem die obige Frage geklärt war. Vielen Dank für das Verständnis.
Wie ist das Produkt L⋅SL⋅SL\cdot S zwischen Bahn- und Spindrehimpulsoperatoren definiert? Wirken sie auf denselben oder auf unterschiedliche Hilbert-Räume?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v