Abfragen zur Rotation in QM für Spin s=1s=1s = 1 System

Question

Abfragen zur Rotation in QM für Spin s=1s=1s = 1 System

Benutzer110903

Ich interessiere mich dafür, wie man eine Drehung über die macht $x$ -Achse in QM für Spin $s = 1$ System. In einer Antwort auf den Beitrag haben wir das für eine allgemeine Rotation im QM, wo Spin $s = 1$ wir haben die gleichung:

\begin{aligned} \exp (ich a J \cdot \hat{N}) & = 1 + ich \hat{N} \cdot J Sünde a + (\hat{N} \cdot J)^{2} (\cos a - 1) \\ = 1 + [2 ich \hat{N} \cdot J Sünde (a / 2)] \cos (a / 2) + \frac{1}{2} {[2 ich \hat{N} \cdot J Sünde (a / 2)]}^{2}, \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \exp(i\alpha \mathbf{J}\cdot\hat{\mathbf{n}}) & = 1 + i\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{J}\sin\alpha + (\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{J})^2(\cos\alpha-1) \\ & = 1 + \left[2i\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{J}\sin(\alpha/2)\right]\cos(\alpha/2) + \frac{1}{2}\left[2i\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{J}\sin(\alpha/2)\right]^2, \end{aligned} \end{equation}$ Fragen: Sollte die LHS nicht sein

\exp (i α J \cdot \hat{n} / 2)

$\exp(i\alpha \mathbf{J}\cdot\hat{\mathbf{n}}/2)$ wie im

s = 1 / 2

$s = 1/2$ Fall, wo wir haben

\exp (- ich \frac{a}{2} \vec{σ} \cdot N) = \cos (\frac{a}{2}) - ich \vec{σ} \cdot N Sünde (\frac{a}{2}) ?

$\exp(-i\frac{\alpha}{2}\vec{\sigma}\cdot\textbf{n}) = \cos\biggl(\frac{\alpha}{2}\biggr)-i\vec{\sigma}\cdot\textbf{n}\sin\biggl(\frac{\alpha}{2}\biggr)?$ Außerdem wäre die Idee, dann zu schreiben

J_{x} = J_{+} + J_{-}

$J_x = J_{+}+J_{-}$ wo wir die Hebe- und Senkoperatoren haben, und dies dann als Matrix in der Basis von auszudrücken

J_{z}

$J_z$ Eigenzustände?

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ZeroTheHero · Answer 1

Nein. Beim Schreiben $\exp(i\alpha \hat n\cdot \vec J)$ Man muss Matrizen verwenden $\hat J_x,\hat J_y,\hat J_z$ mit den Standard-Vertauschungsbeziehungen:

[{\hat{J}}_{X}, {\hat{J}}_{j}] = ich ℏ {\hat{J}}_{z}, usw

$[\hat J_x,\hat J_y]=i\hbar \hat J_z\, , \hbox{etc}$ Für

s = 1 / 2

$s=1/2$ , die Matrizen, die die Vertauschungsbeziehungen erfüllen, sind

{\frac{1}{2} σ_{x}, \frac{1}{2} σ_{y}, \frac{1}{2} σ_{z}}

$\{\textstyle\frac{1}{2}\sigma_x,\textstyle\frac{1}{2}\sigma_y,\textstyle\frac{1}{2}\sigma_z\}$ statt

{σ_{x}, σ_{y}, σ_{z}}

$\{\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z\}$ , daher die Notwendigkeit für die

\frac{1}{2}

$\textstyle\frac{1}{2}$ Faktor.

Ja im Allgemeinen würde man die Matrizen für erhalten $\hat J_x$ Und $\hat J_y$ , werfen Sie sie mit $\hat J_z$ konstruieren $\exp(i\alpha \hat n\cdot \vec J)$ und potenzieren. Das Ergebnis hängt nicht von der Basis ab, sondern von der Basis der Eigenzustände von $\hat J_z$ ist praktisch, da die $\hat J_\pm$ auf dieser Basis sind gut bekannt und leicht zu berechnen.

Bearbeiten: Als Antwort auf einen Kommentar haben die Rotationsmatrizen normalerweise die Form

R_{z} (a) R_{j} (β) R_{z} (γ) = e^{- ich a L_{z}} e^{- ich β L j} e^{- ich γ L_{z}}

$R_z(\alpha)R_y(\beta)R_z(\gamma)=e^{-i \alpha L_z}e^{-i\beta Ly} e^{-i\gamma L_z}$ Zu bekommen

R_{x}

$R_x$ man soll wählen

α = - π / 2

$\alpha=-\pi/2$ Und

γ = π / 2

$\gamma=\pi/2$ .

In einer Basis von Eigenzuständen von $\hat J_z$ , die Drehung $R_x(\beta)=e^{i \pi L_z/2} R_y(\beta) e^{-i\pi L_z/2}$ für $s=1/2$ wird von gegeben

R_{X} (β) = (\begin{array}{cc} \cos (\frac{β}{2}) & - ich Sünde (\frac{β}{2}) \\ - ich Sünde (\frac{β}{2}) & \cos (\frac{β}{2}) \end{array}) = e^{- ich β σ_{X} / 2},

$R_x(\beta)=\left( \begin{array}{cc} \cos \left(\frac{\beta }{2}\right) & -i \sin \left(\frac{\beta }{2}\right) \\ -i \sin \left(\frac{\beta }{2}\right) & \cos \left(\frac{\beta }{2}\right) \\ \end{array} \right)=e^{-i\beta \sigma_x/2}\, ,$ mit Zuständen bestellt als

| 1 / 2, 1 / 2 ⟩, | 1 / 2, - 1 / 2 ⟩

$\vert 1/2,1/2\rangle,\vert 1/2,-1/2\rangle$ .

Für $\ell=1$ das entsprechende Ergebnis ist

R_{X} (β) = (\begin{array}{ccc} \cos^{2} (\frac{β}{2}) & - \frac{ich Sünde (β)}{\sqrt{2}} & - {Sünde}^{2} (\frac{β}{2}) \\ - \frac{ich Sünde (β)}{\sqrt{2}} & \cos (β) & - \frac{ich Sünde (β)}{\sqrt{2}} \\ - {Sünde}^{2} (\frac{β}{2}) & - \frac{ich Sünde (β)}{\sqrt{2}} & \cos^{2} (\frac{β}{2}) \end{array})

$R_x(\beta)=\left( \begin{array}{ccc} \cos ^2\left(\frac{\beta }{2}\right) & -\frac{i \sin (\beta )}{\sqrt{2}} & -\sin ^2\left(\frac{\beta }{2}\right) \\ -\frac{i \sin (\beta )}{\sqrt{2}} & \cos (\beta ) & -\frac{i \sin (\beta )}{\sqrt{2}} \\ -\sin ^2\left(\frac{\beta }{2}\right) & -\frac{i \sin (\beta )}{\sqrt{2}} & \cos ^2\left(\frac{\beta }{2}\right) \\ \end{array} \right)$ für die Bestellung

| 1, 1 ⟩, | 1, 0 ⟩, | 1, - 1 ⟩

$\vert 1,1\rangle, \vert 1,0\rangle, \vert 1,-1\rangle$

Sind die Zeichen für die obigen Begriffe richtig? Es scheint, dass er einen Fehler gemacht hat, dass der zweite Begriff '+' für die ist $s = \frac{1}{2}$ Fall, wo es '-' sein sollte.
Darf ich Sie um Rat fragen? Ich habe einen Python-Code, den ich mit dieser Formel geschrieben habe, um die Rotation eines Zustands zu berechnen $|s = 1; J_z \rangle$ über die $x$ Achse. Ich habe einen anderen Code, der dasselbe tut, aber eine andere Antwort gibt, aber der Unterschied besteht darin, dass die Zeichen und die Reihenfolge der Komponenten unterschiedlich sind (die Zahlen sind gleich). Es ist also so, als wäre einer von ihnen eine Permutation des anderen mit manchmal einem Vorzeichenunterschied für die Komponenten. ich benutze $J_x = \frac{1}{2}J_{+} + \frac{1}{2}J_{-}$ .
Danke, das ist sehr nützlich, mache das schon eine Weile von Hand ... für die letzte Matrix, bist du sicher, dass du es nicht bekommst $i\frac{sin(\beta)}{\sqrt{2}}$ (ohne das negative Vorzeichen, das Sie haben)?
Das ist richtig, das verstehe ich auch, aber dann multiplizierst du einfach mit $i \sin(\beta)$ . Es gibt kein negatives Vorzeichen. Oh, ich denke, das liegt daran, dass Sie ein negatives Argument für Exponential verwenden.
Konnte nur bestätigen, dass dies für die Drehung ungefähr richtig ist $z$ Achse $R_{z} (a) = [\begin{matrix} ich Sünde a + C Ö S a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & ich Sünde a + C Ö S a \end{matrix}]$ $R_{z}(\alpha) =\begin{bmatrix} i\sin \alpha + cos \alpha & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & i\sin \alpha + cos \alpha \end{bmatrix}$ ?
Eine letzte Sache. Was mich interessiert, ist die Betrachtung des Staates $|J=1, M=1\rangle = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ , bilden den kohärenten Zustand $|CS \rangle = \begin{bmatrix} 0.5 \\ -\frac{i}{\sqrt{2}} \\ -0.5 \end{bmatrix}$ indem man die Drehung nimmt $\text{exp}(\frac{-i\pi}{2}J_x)\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.5 \\ -\frac{i}{\sqrt{2}} \\ -0.5 \end{bmatrix}$ .
Dann möchte ich den Modulusquadrat der Überlappung des kohärenten Zustands mit einer Rotation des kohärenten Zustands um die berechnen $x$ -Achse und die $z$ -Achse für verschiedene Werte von $\theta$ Und $\phi$ : $|\langle CS| \text{exp}(-i \phi J_z) \text{exp}(-i \theta J_x)|CS\rangle|^2$ . Das Ergebnis, das ich bekomme, ist diese Handlung . Ist das die Art von Handlung, die Sie vorhergesagt hätten? Vielen Dank.
Danke fürs Prüfen, hätten Sie nicht eine kreissymmetrischere Form erwartet? Wenn Sie davon Höhenkurven nehmen, sieht es so aus, als würden Sie Scheiben vom Typ Ellipse erhalten. Das ist mein Hauptanliegen. Ich habe für eine sehr große Anzahl von Punkten geplant, daher glaube ich nicht, dass es an einem Mangel an Punkten liegt $\theta$ Und $\phi$ . Was denken Sie?
@JohnJack Die Skala auf den Achsen ist anders. Wenn du benutzt $0\le\theta\le \pi$ Und $0\le\phi\le 2\Pi$ Dies sollte bei der Symmetrie helfen.
Danke, aber was meinst du mit "die Skala auf den Achsen ist anders" und wie bist du zu diesem Vorschlag für den Bereich von gekommen $\theta$ Und $\phi$

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