Was bestimmt, ob |jm⟩|jm⟩|jm\rangle in |jm′⟩|jm′⟩|jm'\rangle gedreht werden kann oder nicht?

Dies ist keine vollständige Antwort, aber eine einfache Möglichkeit zu sehen, dass Sie mit einer Rotation nicht jeden Zustand erreichen können, besteht darin, dass der Satz von Rotationen drei reale Dimensionen hat, während der Satz von normalisiertem Spin$s$Staaten hat reale Dimensionen$2(2s+1) - 2 = 4s$reale Dimensionen, bei denen die Subtraktion darauf zurückzuführen ist, dass eine globale Phase weggeworfen und eine Normalisierung gefordert wird. Das bedeutet für Spin$s=1$und höher können fast alle Zustände nicht durch eine Rotation erreicht werden, nur aus dimensionalen Gründen. Die klassische Intuition funktioniert nicht, weil ein „klassischer“ Spin immer einen zweidimensionalen Zustandsraum hat.

Gibt es irgendwelche Argumente aus physikalischen Gründen, die wir hätten vorbringen können, um zu der obigen Schlussfolgerung zu gelangen, ohne die Mathematik zu durchlaufen?

Ja. Diese Antwort verwendet eine mathematische Notation , aber keine Matrizen. Es verwendet nur geometrische Intuition und die grundlegendsten allgemeinen Prinzipien der Quantenphysik.

Notation

Betrachten Sie eine irreduzible Darstellung der Spingruppe (die doppelte Abdeckung der Rotationsgruppe) und verwenden Sie diese Notation:

• $\hat u$ist ein Einheitsvektor im 3D-Raum.

• $J(\hat u)$ist der Generator von Drehungen um die$\hat u$-Achse. Für jede Achse$\hat u$, der Generator$J(\hat u)$ist eine Observable, die durch einen selbstadjungierten Operator auf dem Hilbert-Raum dargestellt wird.

• $j$der größte Eigenwert von ist$J(\hat u)$in der gegebenen irreduziblen Darstellung.

• $\big|\hat u\big\rangle$ist der Eigenzustand von$J(\hat u)$mit dem größten Eigenwert$j$:

  $$J(\hat u)\,\big|\hat u\big\rangle = j\,\big|\hat u\big\rangle.$$

Wir können uns vorstellen$|\hat u\rangle$als mit einem Drehimpuls mit einer bestimmten Orientierung im 3D-Raum, nämlich entlang der$\hat u$-Achse, aber diese Interpretation ist nicht erforderlich, damit diese Antwort funktioniert.

Intuition

Drehungen wirken sich auf offensichtliche Weise auf Observables aus: durch Anwenden einer Drehung$\hat u\to R\hat u$transformiert$J(\hat u)\to J(R\hat u)$. Das impliziert sofort zwei Dinge:

• Alle Staaten$|\hat u\rangle$, für alle Richtungen$\hat u$, können durch Rotationen bis auf einen physikalisch nicht relevanten Gesamtphasenfaktor voneinander erhalten werden. (Ein Zustand kann durch einen Vektor im Hilbert-Raum dargestellt werden, aber die Darstellung ist nicht eins zu eins: Vektoren, die durch eine komplexe Gesamtkonstante ungleich Null miteinander in Beziehung stehen, repräsentieren denselben Zustand.)

• Für jede gegebene Richtung$\hat u$, die einzigen Zustände, die durch Rotieren erreicht werden können$|\hat u\rangle$sind die eigenwertigsten Eigenzustände der Generatoren$J(R\hat u)$.

Drehung im Uhrzeigersinn ca$\hat u$ist dasselbe wie eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn$-\hat u$, also der Eigenzustand von$J(\hat u)$mit Eigenwert$j$entspricht dem Eigenzustand von$J(-\hat u)$Eigenwert$-j$. Dies impliziert:

• Der Eigenzustand von$J(\hat u)$mit Eigenwert$-j$eine Drehung des Eigenzustands von ist$J(\hat u)$mit Eigenwert$j$.

Der Fall$j=1/2$ist besonders, denn dann$J(\hat u)$hat keine anderen Eigenzustände: Die einzigen zwei Eigenzustände, die es hat, sind diejenigen mit Eigenwerten$\pm j$.

Betrachten Sie nun eine Darstellung mit$j>1/2$, und betrachte einen Eigenzustand$|m\rangle$von$J(\hat u)$mit Eigenwert$m\neq \pm j$. Der Betreiber$J(\hat u)$ist der Generator von Drehungen um die$\hat u$Achse, also$|m\rangle$muss unter Drehungen um die invariant sein$\hat u$-Achse, bis hin zu einer physikalisch bedeutungslosen Gesamtphase. Andererseits, wenn$|m\rangle$konnte bezogen werden$|\hat u\rangle$durch eine Drehung, dann$|m\rangle$wäre ein Eigenzustand von$J(R\hat u)$für eine andere Richtung$R\hat u$mit dem größten Eigenwert$j$. Aber$J(R\hat u)$ist unter Drehungen um die nicht invariant$\hat u$-Achse, es sei denn$R\hat u=\pm\hat u$, das würde also dem widersprechen, dass$|m\rangle$muss unter Drehungen um die invariant sein$\hat u$-Achse. Insgesamt bedeutet dies

• Der Eigenzustand von$J(\hat u)$mit Eigenwert$-j$eine Drehung des Eigenzustands von ist$J(\hat u)$mit Eigenwert$j$, und die anderen Eigenzustände von$J(\hat u)$kann nicht durch Drehen desjenigen mit Eigenwert erhalten werden$j$.

Übrigens

Die obige Antwort konzentrierte sich auf Eigenzustände von$J(\hat u)$, aber wie knzhous Antwort darauf hinwies, können wir auch eine allgemeinere Aussage machen: in einer Darstellung mit$j>1/2$, die meisten Zustände sind nicht gleich (oder proportional) zu$|\hat u\rangle$für jede Richtung$\hat u$. Jeder Zustand kann als Überlagerung davon ausgedrückt werden, aber in den meisten Fällen muss die Überlagerung mehr als eine Richtung im 3D-Raum beinhalten. Darüber hinaus ist die Überlagerung nicht eindeutig: Derselbe Zustand kann als unterschiedliche Überlagerungen ausgedrückt werden, die unterschiedliche Sätze von Richtungen im 3D-Raum beinhalten. Dies folgt einfach aus der Tatsache, dass die Basis$\big\{|\hat u\rangle\big\}$übervollständig ist, was wiederum daraus folgt, dass der Parameter$\hat u$ist stetig: eine irreduzible Darstellung hat eine Basis mit endlich vielen Vektoren, also ist die Basis stetig durch parametrisiert$\hat u$muss überkomplett sein.