Was stellen die antisymmetrischen Matrizen JiJiJ_i in der klassischen Mechanik dar?

Wie Sie sich in Ihrer Frage auf die Matrizen beziehen$\:J_{1},J_{2},J_{3}\:$sind hermitesch und nicht antisymmetrisch, wie Sie sie in Ihrem letzten Satz nennen. Sie finden eine Darstellung davon in der Fußnote (1) meiner Antwort hier: Ableitung des einheitlichen Operators U (R), der einer Drehung R zugeordnet ist, mit Wigners Theorem :

$$\begin{equation} \mathcal{S}_{1}\equiv i \begin{bmatrix} 0&\hphantom{\!\!\!-}0&\hphantom{\!\!\!-}0\\ 0&\hphantom{\!\!\!-}0&\!\!\!-1\\ 0&\hphantom{\!\!\!-}1&\hphantom{\!\!\!-}0 \end{bmatrix} ,\quad \mathcal{S}_{2}\equiv i \begin{bmatrix} \hphantom{-}0&\hphantom{\!\!\!-}0&\hphantom{\!\!\!-}1\\ \hphantom{-}0&\hphantom{\!\!\!-}0&\hphantom{\!\!\!-}0\\ -1&\hphantom{\!\!\!-}0&\hphantom{\!\!\!-}0 \end{bmatrix} ,\quad \mathcal{S}_{3}\equiv i \begin{bmatrix} 0&-1&\hphantom{-}0\\ 1&\hphantom{-}0&\hphantom{-}0\\ 0&\hphantom{-}0&\hphantom{-}0 \end{bmatrix} \tag{01} \end{equation}$$ Diese Matrizen haben nichts mit dem Drehimpuls oder irgendeiner anderen Größe in der klassischen Mechanik zu tun und haben auch keine Beziehung dazu .

Wenn Sie in der Quantenmechanik annehmen, dass ein Punktteilchen interne Freiheitsgrade besitzt, dann besteht eine erste einfache Annahme darin, seinen Zustand nicht durch eine skalare Wellenfunktion darzustellen$\:\psi(\mathbf{x})\:$
sondern durch eine 3-Vektor-Wellenfunktion$\:\boldsymbol{\Psi}(\mathbf{x})$.Weiter nehmen wir an, dass, wenn der Zustand durch gedreht wird$\:R(\mathbf{n},\theta)\:$, nicht nur$\:\mathbf{x}\:$ändern in$\:\mathbf{x}'=R\mathbf{x}\:$aber auch$\:\boldsymbol{\Psi}\:$als 3-Vektor ändert sich in$\:\boldsymbol{\Psi}'=R\boldsymbol{\Psi}\:$. In diesem Fall sprechen wir von einem Vektorteilchen und die Matrizen stellen den Spindrehimpuls dar$\:s=1\:$^(*) .

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^{(*) "Quantum Mechanics" , Leonard I. Schiff, 3. Auflage 1968, McGraw-Hill: Spin of a vector Particle (Section 27 ROTATION, ANGULAR MOMENTUM, AND UNITARY GROUPs), S. 197-199.}

Die Darstellung des Bahndrehimpulsvektors${\bf L}$in Bezug auf Ableitungen spielt in der klassischen Physik eine Rolle. Das Auftreten von Ableitungen bedeutet, dass die Größe nur in einer Kontinuumsfeldtheorie sinnvoll ist, sodass an jedem Raumpunkt ein Feld definiert ist, das etwas Differenzierbares liefert.

In einer solchen Theorie ist die Feldtheorie die Parametrisierung von Feldkonfigurationen in Form von Eigenzuständen${\bf L}^{2}$Und$L_{z}$ist dasselbe wie die Parametrisierung in Bezug auf Multipole. Die Untersuchung dieser Multipole ist ein wichtiges Thema in der Elektrodynamik, sowohl in der Statik als auch in der Strahlungstheorie. Im elektrostatischen Fall hat Dipolfeld$\ell=1$; ein Quadrupol hat$\ell=2$, usw. Bei Multipolstrahlung besteht, ebenso wie in der Quantenmechanik, ein Zusammenhang zwischen der$(\ell,m)$Eigenwerte, die das Feld und den Bahndrehimpuls beschreiben, den das Feld trägt.

Die antisymmetrischen Matrizen$J_i$sind eigentlich (wie in der Quantenmechanik) Drehimpulsmatrizen.

Der nette Weg, dies zu sehen, ist zu überlegen

$$R\cdot R^t=1$$ und nimm dann das Differential davon: $$dR\cdot R^{t}+ R\cdot dR^t=0 \tag{1}$$ Forderung $dR\cdot R^T=A$, und beachten Sie, dass (1) umgeschrieben werden kann als $$A+A^T=0$$ was bedeutet, dass $A$ist antisymmetrisch. Die allgemeinste antisymmetrische Matrix kann als Linearkombination geschrieben werden $$A= \vec \omega \cdot \vec J$$ Wo $\vec\omega=(\omega_1,\omega_2,\omega_3)$Und $J_i$ist antisymmetrisch. Wenn Sie eine Drehung über nehmen $\hat z$, Dann $\vec\omega=\omega\hat z$und dann kannst du das leicht überprüfen $$R(\omega_3)=\left(\begin{array}{ccc} \cos\omega_3&\sin\omega_3&0 \\ -\sin\omega_3&\cos\omega_3&0\\ 0&0&1\end{array}\right) \tag{2}$$ und das $$A=dR(\omega)\cdot R^{-1}= \omega_3 \left(\begin{array}{ccc} 0&1&0\\ -1&0&0\\ 0&0&0\end{array}\right)$$ ist in der Tat antisymmetrisch, mit $J_z$der Drehimpulsgenerator etwa $\hat z$. Weil $J_z^2=-I$, es ist nicht schwer, das zu überprüfen $e^{\omega_3 J_z}$gibt (2) zurück und bestätigt dies $J_z$ist der Rotationsgenerator.

Mache das gleiche mit$J_y$Und$J_x$, können Sie nachweisen, dass diese Matrizen die Kommutierungsbeziehungen (natürlich ohne das „i“) der Drehimpulsoperatoren haben.