Warum entsprechen die Rotationsgeneratoren im 4-dimensionalen euklidischen Raum Rotationen in einer Ebene?

Bedeutet dies, dass eine gegebene Drehung im 4-dimensionalen euklidischen Raum nicht mit einer eindeutigen Achse ($\hat{\textbf{n}}$) der Drehung? Wenn ja, warum ist das so?

Ja, das ist absolut richtig. Die Vorstellung einer eindimensionalen Achse ist ein "Zufall" von drei Dimensionen. Rotationen transformieren planare (Dimension 2) lineare Unterräume des euklidischen Raums und daher muss man die transformierte Ebene und den Rotationswinkel spezifizieren, um die Rotation zu spezifizieren.

In 3D-Dimensionen können wir ein wenig schummeln: Eine Ebene ist eindeutig durch einen Einheitsnormalenvektor definiert, und der Rotationswinkel kann als Länge dieses Vektors codiert werden. Das meinen wir mit einer Achse. Die Achse ist der nicht transformierte Raum der Rotation; der 3D-Raum spaltet sich in zwei orthogonale, invariante Räume auf, wobei ersterer die Rotationsebene ist, die invariant, aber transformiert ist ( dh nicht trivial bijektiv auf sich selbst abgebildet wird), und letzterer die Achse, die sowohl invariant als auch nicht transformiert ist. In 4 und höheren Dimensionen haben die invarianten Räume 2 oder höhere Dimensionen.

Ein Mitglied der Lie-Algebra einer Rotationsgruppe (wobei die Algebra als getreue Matrixdarstellung geschrieben ist) ist eine schiefsymmetrische Matrix, dh eine Entität der Form$\sum\limits_i X_i \wedge Y_i$bei dem die$X_i$und$Y_i$sind 1D-Vektoren im euklidischen Raum. Eine allgemeine Rotationsmatrix hat dann die Form$\exp\left(\sum\limits_i X_i \wedge Y_i\right)$. In 4 und höheren Dimensionen werden die Dinge etwas kompliziert; Das allgemeinste, was man sagen kann, ist, dass eine allgemeine echte orthogonale Transformation auf$N$dimensionalen Raum kann zerlegt werden als$R_1\circ R_2\circ\,\cdots R_{N\,\mathrm{div}\, 2}$wo jeder der$R_i$ist eine Drehung, die eine Ebene bijektiv in sich selbst transformiert und das Komplement der Ebene invariant lässt. Allerdings sind die Flugzeuge für jeden der$R_i$sind im Allgemeinen nicht dieselbe Ebene.

Weitere Fragen und nützliche Rotationseigenschaften

Benutzer John Dvorak weist darauf hin:

Das würde ich denken$R_1\circ R_2\circ\,\cdots R_{N\,\mathrm{div}\, 2}$wäre immer paarweise orthogonal. Ist das nicht der Fall?

Dies ist in der Tat absolut wahr und es lohnt sich, den Beweis zu skizzieren, um mehr Einblick in eine höherdimensionale Rotation zu erhalten.

Lassen Sie unsere Rotationsmatrix sein$R=\exp(H)$mit$H=\sum\limits_i X_i \wedge Y_i\in \mathfrak{so}(N)$wie oben. Dann existiert eine weitere orthogonale Transformation$\tilde{R}$( dh $\tilde{R}\in \mathrm{SO}(N)$), die durch Ähnlichkeitstransformation die Schiefe symmetrisch reduziert$H\in \mathfrak{so}(N)$um Diagonalform zu blockieren:

wobei jeder der Blöcke die Form hat:

mit$\theta_j\in\mathbb{R}$ein Rotationswinkel ist und dass, wenn$N$ist seltsam, es gibt auch eine$1\times1$Nullblock übrig.

Wenn wir also sagen:

dann$R_j=\exp(H_j)$mit$R_1\circ R_2\circ\,\cdots R_{N\,\mathrm{div}\, 2}$sind dann leicht zu sehen, um die Zerlegung mit den Eigenschaften zu bilden, die John behauptet, nämlich:

1. Das$R_j$sind jeweils Drehungen, die jeweils nur eine Ebene transformieren und jeweils auch eine Dimension haben$N-2$unveränderlicher und nicht transformierter Raum (das Analogon der "Achse");
2. Die Flugzeuge verwandelten sich durch die$R_j$zueinander orthogonal sind und zwar die von den Einheitsvektoren aufgespannten Ebenen$\tilde{R}_j\,\hat{e}_{2\,j}$und$\tilde{R}_j\,\hat{e}_{2\,j+1}$, bei dem die$\hat{e}_j$sind die orthonormale Basis, in der alle besprochenen Operatoren Matrizen haben, wie oben geschrieben;
3. (als Folge von 2.) die$R_j$pendeln sich gegenseitig ein.

So können wir das leicht sehen:

1. Wenn die Abmessung$N$ungerade ist, gibt es immer einen invarianten, nicht transformierten Raum der Dimension 1, der dem oben zitierten 1D-Nullblock entspricht, zusätzlich zu den unten beschriebenen invarianten Räumen;
2. Wenn die Dimension gerade ist, kann der nicht transformierte Raum einer nichttrivialen richtigen orthogonalen Transformation eine der Dimensionen sein$0,\,2,\,4,\,\cdots N-2$. Die invarianten Räume haben Dimensionen$0,\,2,\,4,\,\cdots,\,N$

Diese Zerlegung betrifft einen bestimmten Rotationsoperator und darf nicht mit dem Begriff der kanonischen Koordinaten zweiter Art verwechselt werden (siehe Kapitel 1, Proposition 3.3 von VV Gorbatsevich, EB Vinberg, „Lie Groups and Lie Algebras I: Foundations of Lie Theory and Lie Transformation Groups“, Springer, 2013), die eine verallgemeinerte Vorstellung von Euler-Winkeln sind . Hier eine Reihe von$H_j\in\mathfrak{so}(N)$zum$j=1,\,\cdots,\,N$(Anmerkung, es gibt jetzt$N$von ihnen nicht$N\,\mathrm{div}\,2$von ihnen) als Basis gewählt wird, dh zu überspannen$\mathfrak{so}(N)$. Folgendes ist wahr:

1. Der Satz$\mathbf{G}=\left\{\left.\prod\limits_{j=1}^N\,\exp(\theta_j\,H_j)\,\right|\,\theta_j\in\mathbb{R}\right\}$enthält eine Nachbarschaft der Identität in$\mathrm{SO}(N)$;
2. Wenn ferner die$H_j$sind orthogonal in Bezug auf die Tötungsform$\langle X,\,Y\rangle=\mathrm{tr}(\mathrm{ad}(X)\,\mathrm{ad}(Y))$, dann der Satz$\mathbf{G}$oben ist das Ganze$\mathrm{SO}(N)$.

Eigenschaft 1 ist, wie in der oben zitierten Referenz von Gorbatsevich & Vinberg gezeigt, eine allgemeine und grundlegende Eigenschaft aller Lie-Gruppen (wenn wir ersetzen$\mathfrak{so}(N)$durch die Lie-Algebra der Gruppe und$\mathrm{SO}(N)$von der Gruppe); Eigenschaft 2 gilt nur für kompakte halbeinfache.

Wenn die Ähnlichkeitstransformation, die ich hier aus dem Nichts gezogen habe, mysteriös erscheint, sind die Leser vielleicht besser mit einer neu geordneten Version der Ähnlichkeitstransformation vertraut$\tilde{R}$oben, wo wir eine schiefsymmetrische, geschlossene 2-Form zerlegen$\omega$in einem Fall mit gerader Dimension, so dass seine Matrix$\Omega$ist:

was wir implizit tun, wenn wir einen symplektischen Raum mit (im Allgemeinen nicht eindeutigen) "kanonischen Koordinaten" so beschriften$\omega$dann hat die Matrix:

Hier haben wir eine andere Verwendung des Wortes "kanonisch", diesmal wie es in der Hamiltonschen Mechanik verwendet wird. Das Wort „kanonisch“ braucht wohl und wahrhaftig einen wohlbehüteten Ruhestand, denn es hat sich in der Physik so viel Mühe gegeben!

Es ist einfach, weil 3-2 = 1, aber 4 - 2 = 2. Eine Drehung besteht aus dem Austausch von zwei Achsen. Da es sich um zwei Dimensionen handelt, tritt es in einer Ebene auf, und es bleiben n-2 Dimensionen übrig. In einem eindimensionalen Raum gibt es nicht genug Dimensionen, um eine Drehung durchzuführen (es sei denn, Sie betrachten das Umdrehen des Raums als Drehung). Im zweidimensionalen Raum sind alle Dimensionen an einer Drehung beteiligt (obwohl der Ursprung ein Fixpunkt ist). Im dreidimensionalen Raum bleibt eine Dimension übrig, und diese Dimension kann als Achse behandelt werden, und wir können Drehungen im dreidimensionalen Raum mit dreidimensionalen Vektoren darstellen. Während das Zeichen willkürlich ist (die Rechte-Hand-Regel ist eine Konvention, keine inhärente Eigenschaft des dreidimensionalen Raums), ist es die Linie, entlang der der Vektor liegt, nicht. Im vierdimensionalen Raum, Es bleiben zwei Dimensionen übrig, also sind die Fixpunkte einer Drehung eine Ebene, und die Wahl einer Richtung zur Darstellung der Drehung wäre willkürlich. (Wir könnten eine Rotation zwischen den Indizes i, i+1 mit einem Vektor in Richtung i+2 darstellen, aber das würde eine willkürliche Reihenfolge der Dimensionen erfordern. Beachten Sie auch, dass bei einer Rotation zwischen nicht aufeinanderfolgenden Indizes wie 1 und 3 , die sich aus einer Rotation zwischen aufeinanderfolgenden Indizes zusammensetzen kann, in diesem Fall 1,2 und 2,3.)