Wie groß ist der Freiheitsgrad einer solchen Matrix?

Hier ist eine Teilantwort: Ich biete sie in der Hoffnung an, dass ihre Methode jemand anderem helfen könnte, Ihnen eine vollständige Antwort zu geben.

Ich schlage vor, dass Ihre Frage besser gestellt werden könnte:

Gegeben ein$n\times n$Matrix positiver reeller Zahlen$r_{j\,k};\;j,\,k\in 1\cdots n$, wie viele frei gewählt werden können, damit es reale Phasen gibt$\phi_{j\,k};\;j,\,k\in 1\cdots n$so dass die Matrix, deren Elemente sind$r_{j\,k}\,\exp(i\,\phi_{j\,k})$ist einheitlich? Welche Beziehungen bestehen zwischen den frei wählbaren und den übrigen?

Hier ist eine Vermutung, deren Rechtfertigung ich im Moment nicht genau erkennen kann (weshalb ich sagte, es ist eine Teilantwort).

Vermutung: Die Antwort ist$\frac{n\,(n-1)}{2}$

Was ich sicher weiß : Die Antwort ist mindestens$\frac{n\,(n-1)}{2}$und höchstens$\frac{n\,(n+1)}{2}$

Um dies zu sehen, gehen wir wie folgt vor.

Alle unitären Matrizen sind von der Form$e^H$, Wo$H$ist schiefsymmetrisch (dies gilt global für die$U(N)$Lie-Gruppen-Beispiel, aber es gibt verbundene Lie-Gruppen, die nicht einfach die Exponentiale ihrer Algebren sind. Für unsere Zwecke reicht jedoch die lokale (in der Nähe der Identität) Wahrheit der Aussage). Die wahre Lie-Algebra$\mathfrak{u}(n)$von$n\times n$schiefsymmetrische Matrizen ermöglicht$n^2$dimensionale geodätische (exponentielle) Koordinaten für die Lie-Gruppe$U(N)$in einer offenen Nachbarschaft$\mathcal{U}\subset U(N)$der Identitätsmatrix innerhalb$U(N)$.

Ebenso gut sind die Magnituden und Phasen der$\frac{n\,(n-1)}{2}$komplexe Zahlen über der führenden Diagonalen von$H\in\mathfrak{u}(n)$zusammen mit dem$n$imaginäre führende diagonale Elemente von$H$(wieder insgesamt$n^2$reelle Zahlen) dienen als eindeutige Koordinaten innerhalb der Nachbarschaft$\mathcal{U}$.

Jetzt ein Lemma:

Lemma: Es gibt eine Nachbarschaft$\mathcal{V}\subseteq \mathcal{U}$der inneren Identität$U(N)$so dass für alle$\gamma\in\mathcal{V}$die folgende$n^2$reelle Zahlen dienen als eindeutige Koordinaten für die Nachbarschaft$\mathcal{V}$: (1) die Real- und Imaginärteile der$\frac{n\,(n-1)}{2}$komplexe Zahlen über der führenden Diagonale in$\gamma\in\mathcal{V}$zusammen mit dem$n$Phasen der Elemente entlang der führenden Diagonale von$\gamma$.

Beweis: Überlege$f:\mathbb{R}^{n^2}\to\mathbb{R}^{n^2}$Wo$f$bildet die Koordinaten ab, die durch die gegeben sind$\frac{n\,(n-1)}{2}$oberes Dreieck Realteile,$\frac{n\,(n-1)}{2}$oberen Dreieck imaginäre Teile zusammen mit den$n$führende diagonale reine Imaginäre im Lie-Algebra-Element$g=\log \gamma$auf die$\frac{n\,(n-1)}{2}$oberes Dreieck Realteile,$\frac{n\,(n-1)}{2}$Imaginäre Teile des oberen Dreiecks und$n$führenden Diagonalphasen des Elements$\gamma$. Diese Funktion ist stetig differenzierbar und$\mathrm{d} f$ist am Ursprung invertierbar; In der Tat$\mathrm{d} f=\mathrm{id}$dort (da das$e^H = \mathrm{id} + H + O(H^2)$). Daher gibt es nach dem Umkehrfunktionssatz eine offene Umgebung des Ursprungs, worin$f$ist invertierbar, daher gibt es immer ein Element der Lie-Algebra, dessen Exponential einen beliebigen Satz von Größen und Phasen in seinem oberen Dreieck und einen beliebigen Satz von Phasen entlang seiner führenden Diagonale hat, solange die Größen und Phasen der führenden Diagonale alle klein genug sind.$\;\square$

Jetzt wissen wir also, dass wir für eine unitäre Matrix, die nahe genug an der Identität liegt, einen beliebigen Satz von wählen können$\frac{n\,(n-1)}{2}$Magnituden kleiner als ein von Null verschiedenes Maximum in seinem oberen Dreieck, aber nicht in seinem unteren Dreieck, da das obere Dreieck zusammen mit den führenden Diagonalphasen einen Satz von lokalen Koordinaten nahe der Identität bildet. Wir können aber höchstens die führenden Diagonalgrößen wählen, also liegt die richtige Antwort dazwischen$\frac{n\,(n-1)}{2}$Und$\frac{n\,(n+1)}{2}$(inklusive).

Ich vermute, es ist$\frac{n\,(n-1)}{2}$, weil die Beträge der führenden diagnostischen Elemente einer einheitlichen Matrix in der Nähe der Identität in erster Ordnung Eins sind, aber vielleicht weiß das jemand sicher.

Die von Ihnen definierte Matrix besteht beispielsweise aus nicht negativen Einträgen$a_{ij}$, und sie befriedigen