Anzahl der Parameter der Lorentz-Gruppe

Aus der speziellen Relativitätstheorie wissen wir, dass eine Lorentz-Transformation:

$$\begin{equation} x'^\mu = \Lambda^\mu {}_\nu x^\nu \end{equation}$$ hält Abstand: $$\begin{equation} g^{\mu \nu} \Delta x_\mu \Delta x_\nu = g^{\mu \nu} \Delta x_\mu' \Delta x_\nu' \end{equation}$$ Die beiden obigen Gleichungen implizieren: $$\begin{equation} g^{\mu \nu} = g^{\rho \sigma}\Lambda_\rho {}^\mu \Lambda_\sigma {}^\nu \end{equation}$$ Betrachten wir nun eine infinitesimale Transformation: $$\begin{equation} \Lambda_\nu {}^\mu = \delta_\nu{}^\mu + \omega_\nu{}^\mu + O(\omega^2) \end{equation}$$ sodass wir schreiben können: $$\begin{equation} \begin{aligned} g^{\mu \nu} & = g^{\rho \sigma}\Lambda_\rho {}^\mu \Lambda_\sigma {}^\nu \\& = g^{\rho \sigma} \left( \delta_\rho{}^\mu + \omega_\rho{}^\mu + \cdots \right)\left( \delta_\sigma{}^\nu + \omega_\sigma{}^\nu + \cdots \right) \\& = g^{\mu \nu} + g^{\mu \sigma} \omega_\sigma{}^\nu + g^{\rho \nu} \omega_\rho{}^\mu + O(\omega^2) \\& = g^{\mu \nu} + \omega^{\mu\nu} + \omega^{\nu \mu} + O(\omega^2) \end{aligned} \end{equation}$$ und so: $$\begin{equation} \omega^{\mu\nu} = - \omega^{\nu \mu} \end{equation}$$ Also die Matrix $\omega$ist ein $4 \times 4$ antisymmetrische Matrix, die entspricht $6$unabhängige Parameter (dh die $3$Parameter entsprechend Boosts und die $3$Parameter, die Rotationen entsprechen).

Es ist genauso, wie Sie wissen, dass es drei Parameter gibt$SO(3)$. Die gleichung$\Lambda^T \eta \, \Lambda = \eta$hat$(n^2+n)/2$unabhängige Skalargleichungen. Um dies zu sehen, schreiben Sie die Gleichung in Komponentenform:$\Lambda^{\mu\nu} \Lambda_\mu{}^\rho = \eta^{\nu\rho}$. Jetzt sehen wir, dass es sie gibt$n^2$Skalare Gleichungen Gleichungen, sondern weil$\eta$ist symmetrisch und die linke Seite ist symmetrisch nach innen$\nu$Und$\rho$ebenso die Gleichungen, die durch Umschalten in Beziehung stehen$\nu$Und$\rho$sind gleich. Somit haben wir festgestellt, dass es sie gibt$(n^2+n)/2$unabhängige Skalargleichungen.

Seit$\Lambda$hat$n^2$Komponenten, wir bekommen$n^2-(n^2+n)/2 = n(n-1)/2$Freiheitsgrade. In$3D$das kommt raus$3\cdot 2 /2=3$, und in$4D$das kommt raus$4 \cdot 3/2=6$.

Sie haben zwei sehr gute Antworten von Hunter und NowIGetToLearnWhatAHeadIs erhalten . Es ist jedoch wahrscheinlich nützlich zu wissen, dass dieses Biest$O(1,3)$ist isomorph oder lokal isomorph ( dh hat die gleiche Lie-Algebra) zu einer überraschenden Anzahl anderer interessanter Gruppen, die Ihnen jeweils eine etwas andere Art geben, darüber nachzudenken. Beachten Sie zunächst, dass seine Identität verbundene Komponente ist$SO^+(1,3)$orthochroner, echter Lorentz-Transformationen (solche, die die Orientierung von Raum und Zeit gleich halten, auch "eingeschränkte" Lorentz-Gruppe genannt) bestimmt natürlich die Lie-Algebra.

1. $SO^+(1,3)\cong {\rm Aut}(\hat{\mathbb{C}}) \cong PSL(2,\mathbb{C})$ist isomorph zur Möbius-Gruppe aller Möbius-Transformationen, wiederum isomorph zur Gruppe aller konformen Transformationen der Einheitskugel. Es ist also definiert durch$z\mapsto \frac{a\,z+b}{c\,z+d}$mit$a,\,b,\,c,\,d\in\mathbb{C}$Und$a\,d-b\,c=1$. Es gibt also drei unabhängige komplexe Parameter, dh sechs unabhängige reelle Parameter;

2. Die doppelte Abdeckung von$PSL(2,\mathbb{C})$, nämlich$SL(2,\mathbb{C})$(noch lokal isomorph zu$SO^+(1,3)$) ist die Gruppe aller$2\times 2$Matrizen der Form:

$$\exp\left(\frac{1}{2}\left[\left(\eta^1 + i\theta \gamma^1\right) \sigma_1 + \left(\eta^2 + i\theta \gamma^2\right) \sigma_2 + \left(\eta^3 + i\theta \gamma^3\right) \sigma_3\right]\right)$$

Wo$\sigma_j$sind die Pauli-Spinmatrizen,$\theta$ist der Drehwinkel,$\gamma^1,\,\gamma^2,\,\gamma^3$die Richtungskosinusse der Rotationsachse und sind$\eta^1,\,\eta^2,\,\eta^3$die Komponenten der Rapiditäten der Lorentz-Transformation. Es ist also genau wie die allgemeine Matrix$\exp\left(\frac{\theta}{2}\left(\gamma^1 \sigma_1 + \gamma^2 \sigma_2 + \gamma^3 \sigma_3\right)\right)$In$SU(2)$aber mit drei komplexen Parametern statt drei reellen ($\theta \gamma^j$) für$SU(2)$. Wir sehen also wieder sechs reelle Parameter.