E7(7)E7(7)E_{7(7)} Symmetrie in (N=8,d=4)(N=8,d=4)(\mathcal{N}=8, d=4) Supergravitation

1- Skalare Felder umfassen im Allgemeinen eine Nebenklassen-Mannigfaltigkeitsstruktur$G/H$, deren Koordinaten im Wesentlichen skalare Felder gemäß einer Sigma-Modellstruktur beschreiben. Auf die Mannigfaltigkeit, die Skalarfelder beschreibt, wird eingewirkt$G$im üblichen Sinne von$G$die Isometriegruppe der Mannigfaltigkeit ist. Die beteiligten Vektorfelder$\mathcal{N}=8$mit$d=4$folgen einer Art Dualitätsbeziehung (notwendig für die Kopplung von Vektoren an Skalare und Spinoren in einer Sigma-Modellweise) und die$28$Vektorfelder mit ihren Dualen zugeordnet sind$56$pseudo-reale Darstellung von$E_{7(7)}$. So$E_7$die auf Skalarfelder wirken, wirken durch Dualitätstransformation auch auf Vektorfelder, eine Eigenschaft, die allen erweiterten Supergravitationsmodellen gemeinsam ist.

2- Wie bereits gesagt, die Nebenklasse$E_{7(7)}/SU(8)$beschreibt eine komplexe Mannigfaltigkeit, deren Koordinaten Skalarfelder sind. Normalerweise haben diese Mannigfaltigkeiten eine Kahler-Struktur, aber in diesem Fall ist die Mannigfaltigkeit ein Beispiel für eine Nicht-Kahler-Mannigfaltigkeit, die als Ergebnis der CPT-Selbstkonjugation der entsteht$\mathcal{N}=8$Graviton-Multiplett. Skalare Felder nehmen Wert auf dieser Mannigfaltigkeit und nicht im Vakuum des Modells.

Um die Vakuumstruktur jedoch zu beschreiben, misst man typischerweise eine Untergruppe der Gruppe voller Isometrie, die auch eine Untergruppe der Gruppe sein sollte, die die Symmetrie des bosonischen Teils von Lagrange bewahrt. Aufbau des Vakuums mit der beliebten Wahl der Manometergruppe$SO(8)$trägt eine volle Symmetrie von$Osp(4/8)$und somit hat die Hintergrund-Raumzeit eine AdS-Struktur.$\mathcal{N}=8$kann auf der Grundlage der Untersuchung der kritischen Punkte des skalaren Potentials, die wiederum durch Kenntnis der Nebenklassenstruktur bestimmt werden können, auf eine niedrigere Zahl von Supersymmetrien (für die Modellbildung) gekürzt werden.

Hinweis: Dualitätsbeziehungen sind einfach Symmetrien der Feldgleichungen, aber nicht der Lagrange-Funktion. Hier bieten sie eine Erweiterung der Symmetrien des nichtlinearen Sigma-Modells, das verwendet wird, um Skalarfelder in Vektorfelder zu beschreiben.

Diese Dualitätsbeziehungen sind im Grunde eine verallgemeinerte Form der Dualitätssymmetrie klassischer Maxwell-Gleichungen, bei der der Austausch von E und B eine Symmetrie der klassischen Maxwell-Gleichungen im Vakuum ist, aber keine Symmetrie der Maxwell-Lagrange-Funktion.

Im erweiterten Supergravitationsmodell$\mathcal{N}\geqslant3$, die Willkür der Sigma-Modellmetrik verschwindet aufgrund einer Änderung der Automorphismusgruppe der Supersymmetrie darüber hinaus$\mathcal{N}=3$und für diese Modelle, wenn wir Dualitätsinvarianz verwenden, dann ist die metrische Struktur zusammen mit G vollständig bestimmt (zusammen mit einigen anderen Einschränkungen, die H bestimmen). Daher ist die Nebenklassenstruktur für erweiterte SUGRA-Modelle vollständig bestimmt, die verwendet werden können, um die Wechselwirkungen und damit die Lagrange-Funktion vollständig festzulegen. Diese Aufgabe wurde zuerst für verwendet$\mathcal{N}=3$in der folgenden Referenz-

Castellani, Auria, Fre, Ferrara: Das Ganze$\mathcal{N}=3$Materie gekoppelte Supergravitation, Nucl. Phys. B286 (1986).