Was ist die Definition der Dualitätsgruppe E7(7)E7(7)E_{7(7)}?

Wie Wikipedia erklärt,$E_7$bezieht sich auf mehrere, eng verwandte reelle und komplexe Lie-Gruppen und Lie-Algebren .

All die verschiedenen$E_7$Lie-Gruppen (Algebren) sind Lie-Untergruppen (Subalgebren) der komplexen Lie-Gruppe$E_7$(Algebra$e_7$), bzw. Letzteres hat eine komplexe Dimension$133$und Rang $7$.

Speziell,$E_{7(7)}\equiv E_{7(+7)}\equiv E_{7,7}$ist eine reelle Lie-Gruppe, wobei die entsprechende Lie-Algebra eine geteilte Lie-Algebra ist und ihre Killing-Form eine geteilte reelle Form ist. Der$E_{7,7}$Lügengruppe ist eine Untergruppe von$Sp(56;\mathbb{R})$.

Für die eigentlichen Gruppenkonstruktionen siehe zB arXiv:1007.4758 .

Die nicht kompakte Lie-Gruppe$E_{7,7}$ist die Dualitätsgruppe von${\cal N}=8$Supergravitation ein$D=4$. Das Diskrete$U$-Dualitätsgruppe der Typ-II-Stringtheorie, kompaktiert auf einem Sechs-Torus$T^6$Ist

$$E_{7,7}(\mathbb{Z}):=E_{7,7} \cap Sp(56;\mathbb{Z}),$$ wie ursprünglich in arXiv:hep-th/9410167 vermutet .