Geometrische/visuelle Interpretation der Virasoro-Algebra

Ich habe versucht, etwas Intuition über Virasoro-Algebren zu gewinnen, bin aber bisher gescheitert.

Die mathematische Definition scheint klar zu sein (wie in http://en.wikipedia.org/wiki/Virasoro_algebra zu finden ). Ich kann einfach nicht scheinen, eine Intuition darüber zu gewinnen. Als zentrale Erweiterung zu Witt-Algebren hatte ich gehofft, dass es eine geometrische Interpretation geben muss, da ich mir Witt-Algebren ziemlich gut vorstellen kann.

Wenn jemand eine schöne geometrische oder visuelle Interpretation der Virasoro-Algebra hat, würde ich mich sehr darüber freuen!

Antworten (2)

Die einfachste visuelle Darstellung der Lie-Gruppe, die mit der Virasoro (Lie)-Algebra verbunden ist, ist die Gruppe der Neuparametrisierungen eines Kreises.

Stell dir das vor σ ist eine periodische Variable mit der Periodizität 2 π . Ein infinitesimaler Diffeomorphismus wird durch eine periodische Funktion spezifiziert Δ σ ( σ ) mit der Periodizität 2 π . Die Generatoren der Umparametrierungen können also geschrieben werden als f ( σ ) ∂ / ∂ σ .

Die möglichen Funktionen f ( σ ) kann zur Fourier-Reihe erweitert werden, so dass eine natürliche Basis der Generatoren der Umparametrisierungen des Kreises sind

L m = ich exp ⁡ ( ich m σ ) ∂ ∂ σ
Berechnen Sie als Übung den Kommutator [ L m , L n ] ist, was es nach der Virasoro-Algebra sein sollte, nämlich ( m − n ) L m + n .

Die Virasoro-Algebra für eine geschlossene Zeichenfolge hat zwei Kopien der obigen Algebra - und für die offene Zeichenfolge ist es nur eine Kopie, aber sie unterscheidet sich von den "holomorphen" Ableitungen, die ich oben verwendet habe. Es gibt verschiedene verwandte Möglichkeiten, die Algebra darzustellen, aber die Neuparametrisierungen des Kreises sind das einfachste Beispiel.

Reden Sie nicht von der Witt-Algebra? Ich denke, Knoten hatte ein Problem damit, die zentrale Erweiterung davon zu visualisieren. ich verstehe das Diff ( S 1 ) , die Gruppe der Diffeomorphismen auf dem Einheitskreis, ist die Gruppe, die der Witt-Algebra zugeordnet ist (wie Sie sagen). Aber wissen Sie, ob eine solche Gruppe für die Virasoro-Algebra existiert? Viele Bücher scheinen darauf hinzudeuten, dass dies nicht der Fall ist, aber ich glaube nicht, dass ich einen Beweis dafür gesehen habe.
Ach, ich verstehe. Es gibt offensichtlich keine visuelle Darstellung der zentralen Erweiterung außerhalb des Hilbert-Raums, die sich von der unterscheiden würde c = 0 Algebra. Der Grund ist, dass die zentrale Erweiterung hat c -Zahlen in den Kommutatoren. ;-) Irgendein c -Zahlen dürfen nur als Phasentransformation im Hilbertraum dargestellt werden, und eine Phasentransformation eines Vektors im Hilbertraum ändert den Charakter dieses Zustands "physikalisch" oder "geometrisch" nicht - es geht nur um die Normierung . Zentrale Erweiterungen sind also nur zentrale Erweiterungen und teilen sich die ursprünglichen Visualisierungen mit der c = 0 .
Habe ich richtig verstanden, dass Sie sagen, dass ich dieselbe geometrische Interpretation der Witt-Algebra verwenden und auf Virasoro anwenden kann?
Sicher, die zentrale Erweiterung einer Algebra ist nur eine sehr subtile Modifikation der ursprünglichen Algebra, die ihre physikalische Bedeutung nicht ändert. Für jede zentrale Erweiterung kann man die ursprüngliche Algebra erhalten, indem man einfach alle setzt c -Nummer Generatoren auf Null. Dies bewahrt die Jacobi-Identität usw., weil die c -Zahlengeneratoren pendelten sowieso mit irgendetwas anderem - nun, das bedeutet, dass es "zentral" war. ;-) In der Stringtheorie ist die Virasoro-Algebra immer noch die Algebra der Reparametrisierungen des Weltblattes, sogar z c ≠ 0 .
Klingt logisch genug :) Ich nehme es
Vielleicht hätte ich vor zwei Jahren sagen sollen, dass die rechte Seite der Virasoro-Algebra – und anderer – richtige Operatoren enthält, und diese den Poisson-Klammern entsprechen; und sie kann es enthalten c -Zahlen. Sie sind ähnlich wie ich ℏ in [ x , p ] . Allgemeiner gesagt werden sie mit einer höheren Potenz von multipliziert ℏ . Jedenfalls diese c -Zahlterme verschwinden - auch relativ zu den operatorwertigen Termen - in der Klassik ℏ → 0 Grenze, was bedeutet, dass die klassische Interpretation davon unabhängig ist c -Zahlenbegriffe (dasselbe gilt für eine zentrale Nebenstelle).

Es gibt eine echte Lügengruppe D ich f f ~ ( S 1 ) die ein U ( 1 ) zentrale Erweiterung der realen Lie-Gruppe D ich f f ( S 1 ) , und die Virasoro-Algebra ist die Lie-Algebra dieser Lie-Gruppe.

Die zentrale Erweiterung D ich f f ~ ( S 1 ) kann geometrisch auf zwei Arten realisiert werden. Die erste erfolgt über eine Hilbert-Raum-Einbettung (wie im Buch von Pressley-Segal), und die zweite über das Determinantenlinienbündel.

Dies alles wird in Anhang D des Buches "Two-dimensional konforme Geometrie und Scheitelpunktoperatoralgebren" von Huang gut erklärt.

Interessant! Ich denke, der Punkt ist, dass die Virasoro-Algebra als Lie-Algebra einer Lie-Gruppe erscheinen könnte, aber vermutlich, wenn es um die spezifische Art und Weise geht, wie sie sich im Fall von zB 1 + 1D CFT verhält, kann sie nicht als die Wirkung einer solchen interpretiert werden Lügengruppe.
Nein. Es gibt kein Problem - die komplette Lie-Gruppe D ich f f ~ ( S 1 ) wirkt in 1+1d CFT, nicht nur in der Lie-Algebra. Dies wird in Huangs Buch erklärt. Es ist ein volkstümliches Missverständnis, dass es irgendein „Problem“ gibt, dass nur „die Lie-Algebra“ wirkt.
Was Sie als Volksmissverständnis bezeichnen, scheint in Schottenlohers Buch "Eine mathematische Einführung in die konforme Feldtheorie" anders gelöst zu werden. Abschnitt 5.4 betrifft die Nichtexistenz der komplexen Virasoro-Gruppe.
Es gibt keine Meinungsverschiedenheiten zwischen der Art und Weise, wie Schottenlohers Buch und Huangs Buch dies lösen. Siehe den letzten Absatz in Abschnitt 5.4 in Schottenlohers Buch.
Schottenlohers Buch ist auch ein großartiges Buch, aber er charakterisiert das Problem in Abschnitt 5.4 ein wenig falsch. Schottenloher betrachtet die Gruppe Diff(S^1) von Diffeomorphismen des Kreises als bedeutsam für die konforme Feldtheorie. Physiker denken auch so, und das führt zu Verwirrung. Vielmehr ist die Quotientengruppe Diff(S^1) / Rot(S^1) von Diffeomorphismen von S^1 dividiert durch Rotationen für die konforme Feldtheorie von Bedeutung.
Der Grund dafür ist, dass die Gruppe M := Diff(S^1) / Rot(S^1) eine schöne geometrische Interpretation hat: Es ist die "Riemann-Abbildungsgruppe". Genauer gesagt ist es die Menge aller injektiven Abbildungen aus der geschlossenen Einheitsscheibe, f : D → f ( D ) , die im Inneren holomorph sind D und glatt bis zur Grenze von D , normalisiert durch die Bedingung, dass f ( 0 ) = 1 und f ' ( 0 ) = 1 . Wir können eine solche Abbildung eine "Riemann-Abbildung" nennen, da es genau um diese Abbildungen geht, um die es beim Riemann-Abbildungssatz geht.
Das ist also genau die Gruppe, die Physiker eigentlich meinen, wenn sie von der "Gruppe der konformen Transformationen" sprechen.
Dies ist eine schöne Gruppe. Tatsächlich hat es sogar eine schöne komplexe Struktur, die Kahler ist (siehe Kirillov, Kahler-Strukturen auf der Gruppe der Diffeomorphismen eines Kreises), und eine kanonische zentrale Erweiterung, die die "Virasoro-Gruppe" ist. Diese Erweiterung hat auch geometrische Bedeutung! Dies geschieht, wenn Sie die Anforderung fallen lassen f ' ( 0 ) = 1 Oben.
Es ist eine Weile her, seit ich darüber nachgedacht habe, und ich hoffe, ich habe mich nicht verwirrt, aber ich denke, das ist der Kern der Sache. Die richtige "nicht zentral erweiterte" Gruppe in CFT ist M, nicht Diff(S^1). Sobald Sie dies erkennen, verblassen alle anderen Probleme.
Ich empfehle das oben erwähnte Papier von Kirillov. Es stimmt alles mit Huang und Schottenloher überein und bietet eine gute Zusammenfassung.
Geometrische/visuelle Interpretation der Virasoro-Algebra
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