Könnten die 6 zusätzlichen Dimensionen in der Superstringtheorie ein Produkt zweier Mannigfaltigkeiten sein?

I) Ich werde hier nur die traditionelle Geschichte der Superstring-Theorie kommentieren , sagen wir, von der ersten Superstring-Revolution in den 1980er Jahren, und es anderen überlassen, neuere Entwicklungen einzubeziehen.

II) Traditionell ist die$10$-dimensionaler Zielraum$(M^{10},g^{(10)})$mit einer Metrik$g^{(10)}$wird als Produkt angesehen

$$M^{10}~=~M^4 \times K^6$$ mit Metrik $g^{(10)}=g^{(4)}\oplus g^{(6)}$, Wo $(M^4,g^{(4)})$ist der $4$-dimensionale Raumzeit mit a $4$-metrisch $g^{(4)}$, die wir sehen und beobachten; Und $(K^6,g^{(6)})$ist ein Kompakt $6$-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit , deren charakteristische Längenskalen so klein sind, dass sie bisher einem experimentellen Nachweis entgangen ist.

Lassen Sie uns für später erwähnen, dass die größte Holonomie-Gruppe a$6$-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit haben kann, ist die$15$-dimensionale Lie-Gruppe $O(6)$, die lokal isomorph zu ist$SU(4)$.

III) Lassen Sie uns nun die Frage von OP wie folgt umformulieren.

Könnte der Kompaktkrümmer$(K^6,g^{(6)})$ein Produkt sein

$$K^6~=~K^{6-n}\times L^n$$ mit Metrik $g^{(6)}=g^{(6-n)}\oplus h^{(n)}$von a $(6\!-\!n)$-dimensionale Mannigfaltigkeit $(K^{6-n},g^{(6-n)})$und ein $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit $(L^n,h^{(n)})$, Wo $n=1,2,3$?

Ich werde weiter unten argumentieren, dass dies nicht möglich ist.

IV) Wiederum, um den experimentellen Nachweis zu vermeiden, die beiden Verteiler$K^{6-n}$Und$L^n$müssen beide kompakt sein. Nun, ein weiteres Stück traditioneller Saitenweisheit ist, ungebrochen zu sein${\cal N}=1$Supersymmetrie ein$4$Raumzeitdimensionen, die Holonomiegruppe von$(K^6,g^{(6)})$muss das sein$8$-dimensionale Lie-Gruppe$SU(3)$, siehe zB Green, Schwarz und Witten, Superstring-Theorie, Kap. 15. Siehe auch diese Phys.SE-Frage.

Fall$n=3$: Die maximale Holonomiegruppe von a$3$-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit ist die$3$-dimensionale Lie-Gruppe$O(3)$, So$K^6=K^3\times L^3$kann höchstens eine Holonomiegruppe haben$O(3)\times O(3)$, welches ist$6$-dimensional und daher zu klein sein$SU(3)$. Also Produktmannigfaltigkeit$K^6=K^3\times L^3$ist ausgeschlossen.

Fall$n=2$: Ein ähnliches Argument schließt eine Produktmannigfaltigkeit der Form aus$K^6=K^4\times L^2$, weil die entsprechende maximale Holonomiegruppe$O(4)\times O(2)$ist nur$7$-dimensional.

Fall$n=1$: Endlich ein Produktverteiler der Form$K^6=K^5\times L^1$ist ausgeschlossen, weil$SU(3)$ist nicht$^1$eine Untergruppe von$O(5)$.

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$^1$$SU(3)$ist keine Untergruppe von$O(5)$. Maximale Untergruppen von$SO(5)$sind isomorph zu den$6$-dimensionale Lie-Gruppe$SO(4)$.

Alternativ: Wenn die Lie-Algebra$su(3)$ist eine Unteralgebra von$so(5)$, dann die Komplexierung$sl(3)=A_2$muss eine Unteralgebra von sein$so(5,\mathbb{C})=B_2$, aber das Wurzelsystem von$A_2$passt nicht in das Wurzelsystem von$B_2$. Widerspruch.