Warum sind zusätzliche Abmessungen erforderlich?

Eigentlich, lass uns das versuchen. Dies ist kein Beweis für zusätzliche Dimensionen (die Nichtbeobachtung von zusätzlichen Dimensionen / Supersymmetrie ist schließlich einer der Hauptgründe, warum die Stringtheorie nicht allgemein als wahr akzeptiert wird), aber dies ist ein Argument dafür, warum kleine zusätzliche Dimensionen nicht beobachtbar sind .

Betrachten Sie ein Teilchen in einer Box in der Quantenmechanik von$n$räumliche Dimensionen. Wenn Sie dies tun, wird die Schrödinger-Gleichung für einen reinen Energie-Eigenzustand (innerhalb des Kastens):

Und wo Sie zwingen$\psi$überall außerhalb der Box und auf der Begrenzung der Box null sein. Unter Verwendung einer Reihe von PDE-Maschinen, die die Trennung von Variablen beinhalten, stellen wir fest, dass die eindeutige Lösung dieser Gleichung eine unendliche Summe von Termen ist, die wie aussehen

wo alle$m$ganze Zahlen sind, und die$\Pi$stellt ein Produkt mit einem Sinusterm für jede Dimension in unserem Raum dar${}^{1}$. Setzen wir dies wieder in die Schrödinger-Gleichung ein, sagt uns, dass die Energie dieses Zustands ist

Nun, nehmen wir das im ersten an$d$Abmessungen, unsere Box hat eine große Breite$L$, während im letzten$n-d$Abmessungen, unsere Box hat eine geringe Breite$\ell$. Dann können wir diese Summe aufteilen in

Jetzt können wir also sehen, was passiert – wenn$L \gg \ell$, gibt es einen viel höheren Energieaufwand, der mit dem Bewegen in den eingeschränkteren oder kleineren verbunden ist$n-d$Richtungen, als es bei der Bewegung in den weniger eingeschränkten Bereichen der Fall ist$d$Dimensionen — Die kleinsten Übergänge kosten eine Energie, die proportional zum umgekehrten Quadrat der Größe der Dimension ist. Indem wir diese Dimensionen klein genug machen, können wir garantieren, dass kein von Menschen durchgeführtes Experiment auch nur annähernd die Energieschwelle erreicht hat, die erforderlich ist, um diesen Übergang zu induzieren, was bedeutet, dass der Teil der Wellenfunktion eines Teilchens, der mit diesen zusätzlichen Dimensionen verbunden ist, gezwungen ist, so zu bleiben, wie er ist. macht sie unbeobachtbar.

${}^{1}$Also, wenn$n=2$, würde ein typischer Zustand in etwa so aussehen$\psi=A\sin(\frac{2\pi x}{L_{x}})\sin(\frac{5\pi y}{L_{y}})$

Warum die Superstring-Theorie braucht$9+1$Dimensionen der Raumzeit? ist in der Tat eine sehr gute und grundlegende Frage. Leider ist es sehr schwierig, diese Frage nur mit intuitiven Laienargumenten zu beantworten.

Schuld daran ist das Konzept einer (quantenmechanischen) Anomalie . Im Allgemeinen würde das Vorhandensein von Anomalien die Quantenversion jeder klassischen Theorie ergeben$^{1}$mathematisch widersprüchlich.

Es stellt sich heraus, dass die Anomalie-Aufhebungsbedingungen für die (Quanten-)Stringtheorie äußerst restriktiv sind. Eine ihrer Konsequenzen ist, dass flache Raumzeitlösungen der (perturbativen, quantenmechanischen) Superstringtheorie sein müssen$9+1$dimensional.

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$^{1}$Der Begriff klassische Theorie bedeutet hier eine Theorie, bei der die Plancksche Konstante$\hbar=0$ist Null. Die klassische Version der Stringtheorie kann in jeder Raumzeitdimension leben.

Kommen wir der Reihe nach zu Ihren Fragen

1. Theorien, die mehr Dimensionen haben, werden ernst genommen, weil ihre Vorhersagen mit den experimentellen Beweisen übereinstimmen. Natürlich schränkt die Tatsache, dass wir nur in 4 Dimensionen leben, solche Ideen ein (obwohl die Idee einer anderen großen Dimension nicht durch unsere direkte Nichtbetrachtung ausgeschlossen wird (vgl. Flatland, wo ein 3D-Objekt in die 2D-Welt eintritt), sondern dadurch, dass wir skalare (bezogen auf unsere 4D-Lorentz-Gruppe) Partner aller Teilchen beobachten müssten). Dennoch können Theorien mit kompakten zusätzlichen Dimensionen das Brechen der Supersymmetrie (falls SUSY existiert), die Tatsache, dass wir 3 Generationen von Materie haben und warum die Generationen so unterschiedliche Massen haben, oder den Grund, warum die Schwerkraft schwach ist, erklären. Eine Schlüsselvorhersage kompakter Etra-Dimensionen ist ein "Aufregungsturm" der Teilchen mit Massenaufspaltungen, die von der Größe der Extra-Dimension abhängen. GUTs in Extra-Dimensionen sagen eine eher "kleine" Lebensdauer des Protons voraus, daher können diese von Hyper-Kamiokande angegangen werden .
2. Diese zusätzlichen Dimensionen könnten "bewiesen" werden, wenn eine Theorie mit zusätzlichen Dimensionen in der Lage wäre, Diskrepanzen innerhalb des Standardmodells der Teilchenphysik und/oder des Standardmodells der Kosmologie zu erklären. Andererseits musste man aus der experimentell falsifizierbaren Theorie eine eindeutige Vorhersage ableiten. Der Beweis einer Theorie (oder eines Merkmals davon) ist eine schwierige Sache, insbesondere wenn das Merkmal so allgemein ist, wie z. B. eine zusätzliche Dimension.
3. Es gibt eigentlich keine Notwendigkeit oder keinen starken Hinweis auf zusätzliche Dimensionen. Ein schöner Grund wäre, dass man eine Grand Unified Theory haben kann , bei der die Symmetriebrechung auf hoher Skala dadurch auftritt, dass die zusätzliche Dimension kompakt ist, anstatt eine spontane Symmetriebrechung zu haben, bei der ein Skalarfeld einen Vakuumerwartungswert entwickelt. Das spontane Bremsen auf zwei verschiedenen Skalen (GUT-Skala und elektroschwache Skala) würde dann viele Fragen bezüglich der Beziehung der beiden Skalen aufwerfen und die Theorie könnte möglicherweise instabil werden. Weitere Gründe, sich zusätzliche Dimensionen anzusehen, wurden bereits in 1. erwähnt.

Im abstrakten Sinne ist eine "Dimension" nur eine Komponente eines Zustandsvektors. Zum Beispiel könnte man von einem 10-dimensionalen Phasenraum sprechen, der aus 3 Komponenten für den Ort, 3 für den linearen Impuls, 3 für den Drehimpuls und 1 für die Energie besteht. Oder man könnte einen "Ereignis"-Vektor haben, der eine zusätzliche Dimension enthält, die die Zeit darstellt.

Es gibt gute Gründe zu glauben, dass es keine 4. räumliche Dimension gibt, die vollständig analog zu den 3 räumlichen Dimensionen ist, die wir kennen: Wenn es eine Möglichkeit gäbe, sich senkrecht zum Raum zu bewegen, dann würde dies ständig durch Interaktion geschehen mit jedem Objekt, das sich bereits in diese Richtung bewegt. Stellen Sie sich zum Beispiel vor, dass ein 4-Körper-System (gravitativ oder elektromagnetisch) niemals in einer Ebene bleiben wird, wenn es einmal gestört ist, da es sich um ein instabiles Gleichgewicht handelt. Vielleicht existiert eine solche 4. Dimension, aber sie müsste entweder eine andere Topologie haben, oder es müsste eine Art Wiederherstellungskraft geben, die uns auf unsere Hyperebene beschränkt hält. Der letztere Fall wird durch einen Billardtisch veranschaulicht – es gibt eine dritte Dimension senkrecht zum Tisch, aber die Bälle werden aufgrund der Schwerkraft an den Tisch geklebt und die entgegenwirkende Kraft wird durch den Tisch selbst bereitgestellt. Da ist einausgezeichnetes Buch namens Flatland, das Sie kostenlos herunterladen können und das diese Probleme auf intuitive und zugängliche Weise behandelt.

Die kurze Antwort lautet: Es gibt bisher keinen Beweis (also keinen experimentellen Beweis).

Der Hauptgrund für die Berücksichtigung von Theorien mit zusätzlichen Dimensionen ist, dass (viele) Theorien, die in 4D kompliziert sind, einfacher als Theorien mit zusätzlichen Dimensionen umformuliert werden können, die in winzigen Kreisen (oder allgemeiner winzigen Mannigfaltigkeiten ) aufgerollt werden, so dass wir erleben Sie sie nicht als die anderen "großen" Dimensionen (genannt "unkompakt"). Mit „einfacher“ ist gemeint, dass sich beispielsweise eine Theorie mit nur einem (Vektor- oder Tensor-) Feld (Denkteilchen) in höheren Dimensionen als mehrere Felder unterschiedlicher Art in niedrigeren Dimensionen manifestiert und deren komplizierte Wechselwirkungen geometrisch beschrieben werden durch die Form des Verdichtungsverteilers . In der Physik mögen die Leute die Geometrisierung, da man argumentieren kann, dass sie intuitiver ist.

Beim Versuch, eine Theorie zu formulieren, die Teilchenwechselwirkungen genau beschreibt, steht man vor vielen Möglichkeiten, und diejenigen, die mit zusätzlichen Dimensionen formuliert werden können, sind etwas einfacher. Daher wird dies oft als Richtschnur für die Formulierung einer korrekten Theorie verwendet – also einer Theorie, die nicht durch Experimente widerlegt wird. Es gibt mehrere Beispiele, die diese Anforderungen erfüllen. Aber es könnte sich herausstellen, dass keine dieser Theorien (mit zusätzlichen Dimensionen) überleben wird, wenn mehr experimentelle Daten gesammelt und mit den Vorhersagen dieser Theorien verglichen werden.

3+1 beschreibt nur die leere „Bühne“, auf der Dinge passieren.
Eine leere Bühne reicht nicht aus, um die Welt zu beschreiben.
Als Antwort scheinen die obigen zwei Zeilen zu genügen, aber ich werde noch ein wenig mehr sagen.
Es scheint so schwierig, Ihren radikalen Ansatz zu beweisen oder zu widerlegen. Wenn jemand beweisen könnte, dass 3 + 1 ausreicht, war diese Frage nicht hier. Ich denke, Sie gehen davon aus , dass 3 + 1 die ganze Geschichte ist. Vermuten ist nicht gut.
Das Ziel der Physik ist es, die Welt besser darzustellen, und manchmal muss man sie etwas „komplizieren“, um klarer zu sehen. Die Kaluza-Klein-Theorie hat eine weitere Dimension: Ladung. Dies muss als Eigenschaft der „Akteure“ (letztlich Feld) gesehen werden, und für mich ist diese Art der Repräsentation sinnvoll.
Wie sicher sind wir, dass 3+1+1 nicht ausreicht? Ich denke, dass dieser Weg noch mehr zu erforschen hat, bevor ich in Betracht ziehen kann, in höhere Dimensionen zu gehen, aber das ist nicht mehr als ein persönliches Gefühl.
Als Beispiel: Elektromagnetismus tritt in der 3+1-Welt auf (und die Menge der „echten“ Zahlen reicht aus: echte Amplituden, echte Frequenzen, echte Phasen usw.), aber die mathematische Darstellung ist viel bequemer, wenn wir „komplex“ verwenden ' Zahlen statt 'Reale'.
Ich spreche nicht zur Verteidigung einer „seltsamen“ Theorie, aber es scheint unklug, so radikal zu vereinfachen und zu sagen, dass 3 + 1 ausreichend ist.

Eine ähnliche metaphysische Frage tauchte bei skeptics.stackexchange auf

Aus physikalischer Sicht können Theorien nur experimentell falsifiziert werden . Wie im Link erwähnt, könnten Atomlaser möglicherweise direkt Eigenschaften des Weltraums messen. Derzeit kann man nur indirekt beweisen, dass das Konzept der Raumzeit als reale physikalische Einheit/Objekt zu Messdaten passt (zB von ART vorhergesagte Gravitationswellen von Doppelpulsaren). Aber man kann den Raum nicht so messen, wie man Atome mit einem Rasterkraftmikroskop "berührt".

Es bleibt derzeit eine metaphysische Frage, ob Sie davon ausgehen, dass Raum nur ein beschreibendes mathematisches Konzept oder ein Objekt der realen Welt ist. Die Protophysik argumentiert, dass Geometrie nur eine Reihe von Mathematik ist. Werkzeuge zur Beschreibung des Universums, Raumzeit ist kein Objekt.

Eine gute Frage könnte sein, können Sie eine 4-dim-Raumzeit mit einer mehrdimensionalen Raumzeit konsistent beschreiben, gibt es eine Art mathematische Redundanz? Oder ist die Mathematik. Das Konzept der Dimensionalität ist so einzigartig, dass es sehr spezifische Eigenschaften der Physik erzwingen würde, die wir zu modellieren versuchen. Das ist eine Art Ockhams Razor-Prinzip. Eine physikalische Erklärung sollte so einfach wie möglich sein. Derzeit benötigen diese Multi-Dim-Theorien von allem (TOE) diese zusätzlichen Dimensionen, um die Physik zu modellieren, die sie zu beschreiben versuchen, aber sie geben auch viele nicht falsifizierbare Lösungen aus, je mehr, je mehr Dimensionen sie verwenden afaik. Das ist also die Grenze zwischen Laborphysik, Metaphysik/Philosophie. Ohne Ad-hoc-Hypothese und subjektive Annahmen kann man hier nicht wirklich logisch argumentieren.

1. Wegen der Hoffnung, die Schwerkraft zu quantifizieren und mit anderen Kräften zu vereinen. Der erste Versuch, Kräfte mit kleinen zusätzlichen Dimensionen zu vereinen, war die Kaluza-Klein-Theorie , die eine einzelne Dimension hinzufügte, um die Schwerkraft mit dem Elektromagnetismus zu vereinen. Die Stringtheorie kann auch die starken und schwachen Kernwechselwirkungen beinhalten.
2. Es gibt noch nichts Empirisches, aber es gibt zahlreiche Vorschläge, wie wir es bekommen könnten, abhängig von der Größe dieser Dimensionen. Sie haben einen schönen theoretischen Vorteil: Sie falten sich zu einer Mannigfaltigkeit, und die Form und Größe der Löcher in dieser Mannigfaltigkeit bestimmen jeweils die Gesetze der Physik und die darin enthaltenen Konstanten, sodass die Stringtheorie im Prinzip die gesamte Physik einfach erklären kann hinsichtlich der Form, die diese Dimensionen annehmen (von der Theoretiker normalerweise eine Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit erwarten ). Leider wissen wir noch lange nicht, um welche Form es sich handelt.
3. Diese Seite kann wie folgt zusammengefasst werden: "Es gibt keine einfache Erklärung, aber ich werde mehrere Versuche mit halb einfachen machen". Frühe Stringtheorien betrachteten nur Bosonen und waren erforderlich$26$Maße; Spätere Stringtheorien sind supersymmetrisch, um Fermionen einzubauen, und erfordern$10$. Der obige Link konzentriert sich auf Gründe$26$ist im ersten Fall speziell; leichte Variationen der gleichen Argumente erklären$10$im zweiten Fall.

Deine Argumentationskette ist gut.

Sprache ist eine sehr verworrene Sache. Deshalb -> Es gibt viele verschiedene Aspekte dessen, was Sie Dimension nennen, sowohl in der Physik als auch in der Mathematik.

In der Mathematik wird die Dimension als Teil der Koordinatenmethode von Descarte definiert.

In der Physik hingegen wird Dimension als Fähigkeit zum REISEN definiert. In meinem Zimmer kann ich also hin und her gehen, aber in der Zeit kann ich nur vorwärts gehen, also ist die Zeit streng genommen auch keine physikalische Dimension. Aber! Da die Zeit in der Mathematik als Parameter verwendet werden kann, kann sie leicht zu einer Dimension werden.

So. In der theoretischen Physik sind wir in 3+1 Dimensionen, in der Mathematik kann es alles sein und im wirklichen Leben nur 3.

Neue Dimensionen zu entdecken ist sehr knifflig – zuerst braucht man eine GUTE Theorie, die es einem ermöglicht, ein Experiment aufzubauen, das zeigt, dass etwas in der 4. oder 5. Dimension reisen KANN.