Wie genau werden Calabi-Yau-Verdichtungen durchgeführt?

Was Sie aufgeschrieben haben, ist der Quotient der zweidimensionalen Übersetzungsgruppe durch eine diskrete Untergruppe. Aber bei weitem nicht jede geschlossene Mannigfaltigkeit entsteht auf diese Weise als Quotient von Gruppen.

Man sollte sich darüber im Klaren sein, dass der Begriff "Verdichtung" in der Physik nicht so sehr verwendet wird, um sich auf das zu beziehen, was in der Mathematik als Verdichtung nicht kompakter Räume bezeichnet wird. Beispielsweise macht die Ein-Punkt-Kompaktifizierung im mathematischen Sinne aus der realen Linie den Kreis. (Es verwandelt die Ebene jedoch auch in die 2-Sphäre, nicht in den Torus.)

Stattdessen bedeutet "Verdichtung" in der Physik, dass Sie einfach eine geschlossene (und damit kompakte) Mannigfaltigkeit wählen$Q$, dann wähle Raumzeit$X$ein ... zu sein$Q$-Faserbündel über Raumgrundfläche (oft nur als Produkt angenommen$X = Q \times Y$) und beschreiben dann den Kaluza-Klein-Mechanismus für den Übergang von der Physik$X = Q \times Y$zu effektiver Physik auf nur$Y$.

Insbesondere für Calabi-Yau "Verdichtungen" wählen Sie einfach aus $Q$eine Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit zu sein, und betrachten Sie dann den Kaluza-Klein-Mechanismus für Raumzeiten, die sind$Q$-Faserbündel. Diese Raumzeiten erhält man eigentlich nicht als Verdichtungen nicht kompakter Raumzeiten im Sinne der Mathematik.

(Nun, man könnte dieses Problem in Betracht ziehen, aber das ist nicht das, was in der Physik allgemein mit "Verdichtung" gemeint ist.)