Wie kann man sich höhere Dimensionen vorstellen?

Die hier verwendete Definition der Dimension ist die einer Dimension einer Mannigfaltigkeit – im Wesentlichen, wie viele Koordinaten (= reelle Zahlen) wir benötigen, um die Mannigfaltigkeit (als Raumzeit gedacht) zu beschreiben.

Mannigfaltigkeiten können einen Längen- und einen Volumenbegriff tragen . Sie können auch kompakt oder nicht kompakt sein , wobei ungefähr ¹ endlich und unendlich entspricht . ZB eine Kugel mit Radius$R$ist kompakt und zweidimensional - jeder Punkt darauf kann durch zwei Winkel beschrieben werden, und sein Volumen ist endlich$\frac{4}{3}\pi r^2$. Gewöhnlicher euklidischer Raum$\mathbb{R}^3$ist nicht kompakt und dreidimensional - jeder Punkt darin wird durch drei reelle Zahlen beschrieben (gerichtete Entfernung von einem willkürlich gewählten Ursprung), und Sie können ihm kein endliches Volumen zuordnen.

Beachten Sie, dass Sie auf der Kugel jede der Koordinaten weiter erhöhen können und früher oder später zu dem Punkt zurückkehren, an dem Sie begonnen haben. Alle Maße sind hier „klein“/kompakt. Im euklidischen Raum kehrt man nie zum Ursprung zurück, egal wie weit man geht. Alle Abmessungen sind "groß"/nicht kompakt.

Ein unendlich langer Zylinder ist nun ein Beispiel dafür, wo die beiden Dimensionen unterschiedlich sind. Nehmen Sie als Koordinaten die offensichtlichen zwei - die Länge (wie weit "unten" / "oben" auf dem Zylinder Sie sich befinden) und den Winkel (wo Sie sich auf dem Kreis mit dieser Länge befinden). Die Längendimension ist nicht kompakt - Sie kehren nie zu Ihrem Ausgangspunkt zurück, wenn Sie diese Koordinate einfach weiter erhöhen. Die Winkelkoordinate ist kompakt - Sie kehren danach zurück$2\pi$zu Ihrem Ausgangspunkt, und die "Größe" der Bemaßung ist der Radius des Kreises. Dies ist ein Beispiel für eine "aufgerollte Dimension". Wenn Sie viel größer als der Radius sind, bemerken Sie möglicherweise nicht einmal, dass Sie sich auf einem Zylinder befinden, und denken stattdessen, dass Sie sich auf einer eindimensionalen Linie befinden!

^{1 Die mathematische Definition besteht darin, Eigenschaften abzudecken, die nicht so leicht in Intuition übersetzt werden können.}

In der Differentialgeometrie kann ein Raum mit einer bestimmten Anzahl von Dimensionen eher gekrümmt als euklidisch sein, sodass beispielsweise die Oberfläche einer Kugel als zweidimensionaler Raum verstanden wird, obwohl wir nicht anders können, als uns das vorzustellen Kugel, die in einem höherdimensionalen euklidischen 3D-Raum sitzt. Dieser 3D-Raum, in dem wir uns die 2D-Oberfläche vorstellen, ist technisch als "Einbettungsraum" bekannt, aber die Mathematik der Differentialgeometrie ermöglicht es Mathematikern und Physikern, die Krümmung von Oberflächen rein "intrinsisch" zu beschreiben, ohne dass ein Einbettungsraum erforderlich ist , anstatt in "äußeren" Begriffen, wo die Oberfläche durch ihre Koordinaten in einem höherdimensionalen Raum beschrieben wird - siehe dieAbschnitt "Intrinsic versus Extrinsic" der Wiki-Seite zur Differentialgeometrie . Und all dies hat eine praktische Relevanz für Physiker, da Einsteins allgemeine Relativitätstheorie Differentialgeometrie verwendet, um die Gravitation in Bezug auf Materie und Energie zu erklären, wodurch die Raumzeit gekrümmt wird (siehe hier für eine kurze konzeptionelle Einführung, wie die Raumzeitkrümmung den Weg von Teilchen erklären kann Flugbahnen werden durch die Schwerkraft beeinflusst).

Wenn Sie Greenes Bemerkung darüber verstehen wollen, dass höhere Dimensionen „aufgerollt“ sind, stellen Sie sich mit diesen Gedanken die Oberfläche eines langen Zylinders oder Rohrs vor, wie einen Gartenschlauch. Diese Oberfläche ist zweidimensional, aber Sie müssen nur eine kurze Strecke in eine Richtung zurücklegen, um einen Kreis zu machen und zu Ihrem Ursprungsort zurückzukehren - das ist die "zusammengerollte" Dimension -, während die senkrechte Richtung beliebig lang sein kann, vielleicht unendlich. Sie können sich zweidimensionale Wesen vorstellen, die auf dieser Oberfläche leben, wie die in dem berühmten Buch Flatland , das viele Menschen mit der Idee von Räumen mit unterschiedlicher Anzahl von Dimensionen bekannt gemacht hat (und es gibt auch eine „Fortsetzung“ eines anderen Autors mit dem Titel Spherelandwas die Idee einführt, dass ein 2D-Universum tatsächlich gekrümmt sein könnte). Aber wenn der Umfang des Zylinders sehr kurz wäre – kürzer sogar als der Radius der Atome in diesem Universum – dann könnte dieses Universum in großen Maßstäben nicht von einem eindimensionalen Universum zu unterscheiden sein (wie das „Lineland“, das die Charaktere in Flatland jemandem einen Besuch abstatten). Eine ähnliche Idee wird in der Stringtheorie angenommen, um die Tatsache zu erklären, dass wir unseren Raum nur als 3-dimensional erfahren, obwohl die Mathematik der Stringtheorie mehr räumliche Dimensionen erfordert – die zusätzlichen Dimensionen werden zu kleinen Formen „zusammengerollt“, die als bekannt sind Calabi-Yau-Verteiler, die eine Rolle spielen, die analog zu den kreisförmigen Querschnitten des von mir beschriebenen 2D-Zylinders oder -Rohrs ist (obwohl es in der Branentheorie, einer Erweiterung der Stringtheorie, möglich ist, dass eine oder mehrere zusätzliche Dimensionen "groß" und nicht gekräuselt sind, aber Teilchen und Kräfte mit Ausnahme der Schwerkraft sind darauf beschränkt, sich in einer dreidimensionalen „Brane“ zu bewegen , die in diesem höherdimensionalen Raum sitzt, der als „Masse“ bezeichnet wird).

Es ist relativ einfach, sich die 4. Dimension vorzustellen. Das wäre Zeit. Aber Zeit, als hätten wir eine Zeitmaschine, mit der wir uns beliebig durch sie bewegen könnten. Höhere Dimensionen wären schwieriger aber möglich als "Schicksale". Stellen Sie sich zum Beispiel vor, dass Sie in Schicksal1 ein Auto sehen, das in einer bestimmten Stunde von A nach B fährt, aber in Alternative Schicksal2 sehen Sie dasselbe Auto, das von B nach A fährt. Und so weiter. Stellen Sie sich nun diese Schicksale vor, als wären sie Bücher in einer Reihe in einem Regal 1,2..., n. Stellen Sie sich nun die Anzahl der Regale (1 ... n) x (1 ... n) mit Schicksalen vor. Oder die Anzahl der Regale in Anzahl der Reihen in einer Schicksalsbibliothek in einer dreidimensionalen Tabelle (1,2...n) x (1,2...n) x (1,2...n). Oder eine dreidimensionale Bibliothek von Schicksalen, die sich mit der Zeit ändert. Nun, wenn Sie sich das alles vorstellen können, haben Sie sich gerade 4 x 4 = 16 Dimensionen vorgestellt.