Theorien von Kaluza Klein, Dilatationsfeld und Dimensionsreduktion

Lassen Sie uns schnell die Standard-KK-Verdichtung durchgehen. Wir beginnen mit einem$d+1$Dimensionstheorie

$$S = \frac{1}{16\pi G_{d+1}} \int d^{d+1}x \sqrt{G} R_{d+1}$$ Allgemeinere Aktionen auf der $d+1$dimensionaler Raum kann in Betracht gezogen werden, aber dies wird für unsere Zwecke ausreichen. Die Metrik $G_{MN}$kann zerlegt werden als $$ds^2 = G_{MN} dx^M dx^N = e^{2\Phi} \left( dt + A_\mu dx^\mu \right)^2 + g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu$$ Davon gehen wir jetzt aus $t$ist die verdichtete Richtung mit $t \sim t + 2 \pi R$. Die Theorie hat die folgenden Symmetrien

1. $d$-dimensionale Diffeomorphime,$x^\mu \to x'^\mu(x)$unter welchen$A_\mu$Und$g_{\mu\nu}$als Tensoren vom Rang 1 bzw. 2 transformieren.

2. Spurtransformationen entlang der verdichteten Richtungen,$t \to t + \lambda(x)$,$A_\mu \to A_\mu - \partial_\mu \lambda$. Diese Symmetrie beschreibt im Wesentlichen die lokale Ursprungswahl in Verdichtungsrichtung.

Wenn nun die Längenskalen unseres Problems groß sind im Vergleich zum Radius des verdichteten Kreises$R$, davon gehen wir dann aus$\Phi$,$A_\mu$, Und$g_{\mu\nu}$sind nur Funktionen von$x^\mu$und nicht$t$. (Dies geschieht hier nur der Einfachheit halber. Man kann den allgemeineren Fall betrachten, in dem die Felder in den Modi erweitert werden$t$Richtung. Dies gibt uns massive Teilchen in der$d$-dimensionaler Raum. Wir werden dies hier nicht berücksichtigen). Mit dieser Annahme finden wir

$$R_{d+1} = R_d - 2 e^{-\Phi} \nabla^2 e^{\Phi} - \frac{1}{4} e^{2\Phi} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu},~~ \sqrt{G} = e^{\Phi} \sqrt{g}$$ Die Aktion nimmt dann die Form an $$S = \frac{2\pi R}{16\pi G_{d+1}} \int d^d x \sqrt{g} e^{\Phi} \left[ R_d - \frac{1}{4} e^{2\Phi} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} + \nabla_\mu \Phi \nabla^\mu \Phi \right]$$ Daher vermerken wir das in der $d$-dimensionalen Raum haben wir ein Eichfeld und ein Skalarfeld. Die Wirkung ist seit dem Skalarfeld nicht ganz in der Einstein-Hilbert-Form $\Phi$Paare zu $R_d$Und $F_{\mu\nu} F^{\mu\nu}$nicht trivial. Auch der kinetische Begriff für $\Phi$hat das falsche Vorzeichen. Dieses Feld wird als Dilaton bezeichnet.

Um zu verstehen warum$\Phi$heißt Dilaton (verwandt mit Dilatation oder mit anderen Worten Skala), gehen wir zurück zu den$d+1$dimensionale Metrik. Bedenke die$S^1$an einem festen Punkt leben$x^\mu$. Die induzierte Metrik auf diesem Kreis ist

$$ds^2_{S^1} = e^{2\Phi(x^\mu)} dt^2$$ Die Größe dieses Kreises ist $$\int ds_{S^1} = \int_0^{2\pi R} dt e^{\Phi(x^\mu)} = 2\pi R e^{\Phi(x^\mu)}$$ Somit sehen wir, dass der effektive Radius des Kreises an $x^\mu$Ist $R e^{\Phi(x^\mu)}$. Mit anderen Worten steuert das Dehnungsfeld die Größe des Kreises.

Nebenbei bemerkt, die kompakte Aktion oben ist in dem sogenannten String-Frame geschrieben (der Name stammt aus der String-Theorie). Es ist möglich, zum standardmäßigeren Einstein-Rahmen zu wechseln (wo die Aktion die Form annimmt$\sqrt{g} R$, usw.), indem Sie eine Feldneudefinition durchführen$g_{\mu\nu} \to e^{2\omega} {\tilde g}_{\mu\nu}$und passend auswählen$\omega$. In diesem Rahmen hat der skalare kinetische Term das richtige Vorzeichen. Allerdings haben wir noch eine nicht-triviale Kopplung an$F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$.