Was erzeugt die Krümmung, die für das Aufrollen von Extradimensionen notwendig ist?

Die kompakten Extramaße sind nicht gekrümmt, genauer gesagt nicht unbedingt gekrümmt.

Stellen Sie sich als Analogie vor, Sie beginnen mit einem flachen Blatt Papier und rollen es zu einem Zylinder auf. Die intrinsische Krümmung ist immer noch Null, dh ein auf die Oberfläche beschränkter Flachländer würde feststellen, dass die Geometrie immer noch euklidisch ist. Der Zylinder sieht für uns aufgrund der Art und Weise, wie er in unseren 3D-Raum eingebettet wurde, gekrümmt aus.

Das Aufrollen der außerräumlichen Dimensionen ist analog dazu, obwohl die Oberfläche, die sie bilden, offensichtlich komplizierter ist als ein Zylinder. Es wurde lange angenommen, dass sie eine Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit bilden würden, obwohl ich glaube, dass dies jetzt in Frage gestellt wird, da keine Supersymmetrie bei niedriger Energie gefunden wurde. Auf jeden Fall kann der Calabi-Yau-Verteiler an sich flach sein, genau wie ein Zylinder, oder vielleicht wäre ein besseres Beispiel ein Sechs-Torus.

Das bedeutet nicht, dass die Krümmung in den zusätzlichen Dimensionen Null sein muss , sondern nur, dass sie Null sein kann.

Zur Stabilisierung der kompakten Abmessungen war der erste mir bekannte Vorschlag dafür der KKLT-Mechanismus .

Zunächst ist darauf hinzuweisen, dass das Standardmodell auf exotische Geometrien setzt – wenn man sie geometrisch betrachtet. Nehmen Sie zum Beispiel die starke Kraft. Bevor es quantisiert wird, wird es als beschrieben$SU(3)$über die Raumzeit bündeln. Das bedeutet nur, dass die Raumzeit eine „innere“ Geometrie hat, die so aussieht$SU(3)$, und das ist eine Gruppe, die Gruppe spezieller einheitlicher Transformationen in 3 komplexen Dimensionen; das ist schwer vorstellbar, aber es gibt eine schönere topologische Beschreibung, it's$S^3$, die 3-Kugel, die die Oberfläche der 4d festen Kugel ist.

Hier haben wir also bereits ein Bild der Raumzeit mit einer exotischen Geometrie. Wenn Sie es sich vorstellen können, ist ein Raumzeitatom nicht 4d, sondern 7d; und diese Atome sind im Gegensatz zu echten Atomen nicht verschieden, sondern verändern sich ständig von einem Punkt zum anderen. Die Krümmung des Bündels äußert sich als Feldstärke.

Elektromagnetismus ist ähnlich; Tatsächlich war es der direkte Vorläufer der Theorien der schwachen und starken Kraft, und daher ist dies nicht überraschend; hier ist die Geometrie des Punktes$U(1)$. Dies ist topologisch dasselbe wie ein Kreis; also müssen wir dafür eine weitere Dimension hinzufügen. Damit ergibt sich die Dimension eines Raumzeitpunktes 8d. Die schwache Kraft fügt hinzu$SU(2)$, und dies ist topologisch gesehen die doppelte Abdeckung von$SO(3)$, die Rotationsgruppe in 3d. Diese hat 3 Freiheitsgrade. Insgesamt haben wir also zu jedem Raumzeitpunkt 11 Dimensionen; oder anders gesagt, 11 Freiheitsgrade.

Nun, während die bosonische Stringtheorie 26d ist; Die Hauptanwärter, die fünf Superstring-Theorien, sind 10d; M-Theorie hatte 11d. In diesen letzteren Theorien sind wir also nicht weit von den tatsächlichen Freiheitsgraden an einem Raumzeitpunkt entfernt.

Nun ist es die Krümmung des Elektromagnetismusbündels, die sich als elektromagnetische Feldstärke manifestiert; lokal, nachdem Sie eine Basis gewählt haben, spaltet sich diese in das elektrische und magnetische Feld auf; Eine ähnliche Geschichte kann für die anderen Yang-Mühlenfelder gesagt werden - die schwache und die starke Kraft.

All dies, bevor die Theorien tatsächlich quantisiert werden.

An dieser Stelle sollte wohl noch hinzugefügt werden, dass es die Geometrisierung der Gravitation durch Einstein war, die Weyl dazu inspirierte, ein ähnliches Schema für den Elektromagnetismus – das Eichprinzip – einzuführen, und das über ein halbes Jahrhundert später zum heutigen geometrischen Bild der Eichtheorien führte. Es stellt sich die Frage, ob dieses geometrische Bild mehr ist als eine mathematische Annehmlichkeit, die Physikern und Mathematikern hilft, die Theorie besser zu erfassen und damit zu arbeiten. Ein typisches Beispiel ist die Schwerkraft, sie postuliert die Krümmung der Raumzeit. Wir haben jetzt direkte Beweise dafür durch Gravitationslinsen. Wir können die Krümmung tatsächlich in Aktion sehen .

Da sich die Geometrie im sehr Großen weit entfernt von unserer gewöhnlichen und alltäglichen Erfahrung hier auf dieser Erde ändert, kann man zu der Idee geführt werden, dass sich die Geometrie auch im sehr Kleinen ändern kann. Wahrscheinlich einer der ersten Beweise, die darauf hindeuten, ist die Entdeckung von Spinoren. Michael Atiyah sagte, dass sie in gewissem Sinne „die Quadratwurzel der Geometrie“ sind; Ein weiterer Beweis ist das Ahranov-Bohm-Experiment, das darauf hindeutet, dass nicht das elektrische oder magnetische Feld grundlegend ist, sondern das elektromagnetische Potential, das ursprünglich als eine bequeme Art angesehen wurde, physikalische Probleme mit Elektromagnetismus zu sprechen. Dies ist wiederum ein Ausdruck der Krümmung und geht direkt in die Kopplung des elektromagnetischen Feldes mit dem Elektron in die Diracs-Gleichung ein.

Der Unterschied zwischen dieser und der Stringtheorie besteht darin, dass die zusätzlichen Dimensionen als tatsächlicher Raum postuliert werden; man kann es von einem rein pragmatischen Standpunkt aus betrachten, so wie Teilchentheoretiker die Eichtheorie nehmen und sie nur als eine andere Möglichkeit betrachten, über die Physik nachzudenken, um ein vollständig einheitliches Bild zu erhalten. Schließlich hat sich ein solches räumliches Bild bereits im Hilbert-Raum der Quantenzustände bewährt, der direkt von unserem eigenen 3D-Euklidischen Raum inspiriert ist.

Zu Ihrer anderen Frage, was diese Krümmung erzeugt. Ich bin mir nicht sicher, ob diese Frage überhaupt in der Theorie behandelt wird. Die kompakten Dimensionen sind durch Fiat gegeben, so wie wir sie in der klassischen Feldtheorie haben, die dem Standardmodell zugrunde liegt. Die Hauptfrage hier ist, eine phänomenologische genaue Beschreibung der Physik zu erhalten, die wir alle kennen und lieben.

Es scheint, dass das OP nach "Kausalität" fragt, nicht nach einer Technik zur Verdichtung.

Der Vorschlag, dass zusätzliche Dimensionen existieren, führt uns auf einen Weg, der (1) Freiheitsgrade zum Ausdrücken von Eichfeldern unter Verwendung der Differentialgeometrie bereitstellt und (2) zu einem naturalistischen Problem führt. Nämlich, welcher Mechanismus die Verdichtung rechtfertigt. Theoretiker kümmern sich nicht immer darum, diese Frage zu beantworten.

Es sollte beachtet werden, dass Theoretiker in den frühesten Tagen der Vereinigung auch mit zusätzlichen Dimensionen spielten, die nicht kompakt waren, dh zusätzlichen Kopien von R^1. Dies erfüllt die Aufgabe von zusätzlichen Feldern. Das Aufkommen einer geometrischen Beschreibung des EM-Felds und anderer Felder war attraktiv, führte aber auch zusätzliche Felder ein, mit denen niemand etwas anzufangen wusste. Zuerst "wollten sie sie weg". Dies führte zu dem Ergebnis, dass EM in eine höherdimensionale geometrische Theorie eingebettet ist, aber wir können nicht wirklich herausfinden, was wir von den "zusätzlichen Feldern" halten sollen. Diese zusätzlichen Felder waren nicht nur für Theoretiker beunruhigend, sondern es stellte sich heraus, dass das „Wegwünschen“ zu einer Konfiguration führt, die keine Lösung der Feldgleichungen ist. Dies ist ein noch größeres Problem, Inkonsistenz. Michael Duff (der sich des Namens nicht 100% sicher ist) hat diese Theorien wiederbelebt, indem er zeigte, dass man eine höherdimensionale Theorie aufbauen kann, die verschwindende zusätzliche Felder hat, die mit den Feldgleichungen übereinstimmt (eine große Sache). Die Verwendung kompakter zusätzlicher Dimensionen und das Nehmen der Grenze, wenn der Radius gegen Null geht, lässt Terme legitimerweise verschwinden. Das bedeutet, dass die uns bekannte Physik bis zu einem gewissen Grad aus diesen Theorien extrahiert werden kann. Es bedeutet auch, dass wir diese zusätzlichen Felder "sehen" würden, wenn sich diese Dimensionen lockern würden, dh sie könnten angeregt werden und einen messbaren Effekt in 4-Dim haben. Aber nichts erklärt, warum diese zusätzlichen räumlichen Freiheitsgrade so sind, wie sie sind, es ist eine angenommene Konfiguration, die die logische Konsistenz nicht verletzt. Das bedeutet, dass die uns bekannte Physik bis zu einem gewissen Grad aus diesen Theorien extrahiert werden kann. Es bedeutet auch, dass wir diese zusätzlichen Felder "sehen" würden, wenn sich diese Dimensionen lockern würden, dh sie könnten angeregt werden und einen messbaren Effekt in 4-Dim haben. Aber nichts erklärt, warum diese zusätzlichen räumlichen Freiheitsgrade so sind, wie sie sind, es ist eine angenommene Konfiguration, die die logische Konsistenz nicht verletzt. Das bedeutet, dass die uns bekannte Physik bis zu einem gewissen Grad aus diesen Theorien extrahiert werden kann. Es bedeutet auch, dass wir diese zusätzlichen Felder "sehen" würden, wenn sich diese Dimensionen lockern würden, dh sie könnten angeregt werden und einen messbaren Effekt in 4-Dim haben. Aber nichts erklärt, warum diese zusätzlichen räumlichen Freiheitsgrade so sind, wie sie sind, es ist eine angenommene Konfiguration, die die logische Konsistenz nicht verletzt.

Dieselben Ideen sind mit der modernen Eichtheorie verbunden, wo man eine interne Symmetriegruppe mit der Mannigfaltigkeit koppelt. Der Unterschied besteht hier darin, dass die Mannigfaltigkeit der inneren Symmetriegruppe „eingefroren“ ist. Es kann nicht atmen, sich ausdehnen oder zusammenziehen. Es stirbt keine eigene Dynamik. In Kaluza-Klein-Theorien sind die zusätzlichen Teile der Mannigfaltigkeit auf die Geometrie einer größerdimensionalen Raumzeit zurückzuführen, und die zusätzlichen Dimensionen können sich gemäß einer höherdimensionalen Version von Einsteins Gleichungen ausdehnen und zusammenziehen. Dies sollte es ermöglichen, eine Theorie zu entwickeln, die erklärt, „WARUM“ sich die Dimensionen zusammenziehen und zusammenziehen. Ob jemand explizit ein solches Modell entwickelt hat, kann ich nicht sagen (habe die Literatur dazu nicht verfolgt). Aber es ist möglich zu erklären, warum sich einige Dimensionen zusammenziehen und andere ausdehnen.

Aber als abschließende Anmerkung, anzunehmen, dass die zusätzlichen Dimensionen offen oder geschlossen sind (eine Linie oder Ebene oder ein Kreis oder eine Kugel oder eine andere Mannigfaltigkeit), bedeutet eine gewisse Einschränkung der Topologie, nicht der Geometrie. Ich glaube nicht, dass es für einen materiellen Spannungsenergietensor möglich ist, tatsächlich die Topologie zu ändern, dh eine unendliche Linie irgendwie zu einem Kreis zu schließen. Was diese Theorien sagen, ist, dass wir, wenn wir mit der Annahme beginnen, dass die zusätzlichen Dimensionen geschlossen sind (dh eine kompakte Mannigfaltigkeit), die Möglichkeit haben, durch einen Mechanismus zu schrumpfen.

Wenn Sie wirklich daran interessiert sind zu lernen, wie diese Techniken funktionieren und sich im Laufe der Zeit weiterentwickelt haben, empfehle ich:

Einführung in die Relativitätstheorie von Peter G. Bergmann

The Dawning of Gauge Theory von Lochlainn O'Raifeartaigh

Das mögen alte Bücher sein, aber sie sind sehr gut. Der Anhang von Bergmanns Buch enthält eine Ableitung der KK-Theorie mit einer zusätzlichen Dimension.