Warum braucht GTR keine höhere Dimension, um die Krümmung der Raumzeit zu beschreiben?

Erstens sind intrinsische Krümmung und extrinsische Krümmung nicht gleich. Wenn Sie ein Stück Papier z. B. zu einem Zylinder biegen, erhält es eine äußere Krümmung, aber die Geometrie auf dem Papier wird nicht verändert (Winkel in einem Dreieck, Umfang eines Kreises usw.), sodass es keine innere Krümmung erhält.

Es könnte möglich sein, die Raumzeit mathematisch in höhere Dimensionen einzubetten. Selbst für einfache Fälle, für die wir Lösungen haben, werden mindestens sechs Dimensionen einschließlich zweier Zeitdimensionen benötigt, aber für die allgemeinsten Lösungen könnten viel mehr Dimensionen benötigt werden. Dies wäre sowohl konzeptionell als auch mathematisch schwierig (die meisten Leute denken, dass die Mathematik von GTR bereits schwierig genug ist!), und es ist physikalisch nicht gerechtfertigt, da es keine anderen Dimensionen gibt, in die die Raumzeit gebogen werden kann.

Die Eigenkrümmung ist (zumindest konzeptionell) nicht schwer zu verstehen und erfordert kein Konzept des Biegens in höhere Dimensionen. Es kann so verstanden werden, dass Sie die Krümmung der Erde auf einer flachen Karte durch lokale Skalierungsverzerrungen der Karte sehen. Hier ist eine Karte eines Universums mit positiver Krümmung. Die zentrale Galaxie ist nicht verzerrt, aber eine stärkere Verzerrung ist weiter vom Zentrum entfernt zu sehen (Diagramme von Structures of the Sky , mehr Erklärung, ohne Mathematik, finden Sie in The Large and the Small )

Sie können die Skalierungsverzerrungen auf dieser Karte „rückgängig machen“, indem Sie sie auf eine Kugel abbilden, was zeigt, dass die Karte die gleiche wäre, egal welche Galaxie Sie für das Zentrum wählen.

Beachten Sie, dass die Kugel keine physikalische Bedeutung hat. Es ist nur eine Möglichkeit, eine Karte zu zeichnen. Wir können auch Karten der expandierenden Raumzeit zeichnen, so wie hier. Die Galaxien werden nicht größer, aber die Abstände zwischen ihnen werden größer.

Andere Karten können verwendet werden. Dieser ist genau äquivalent, aber anstatt dass sich das Universum scheinbar ausdehnt, scheinen Galaxien kleiner zu werden.

Die Fragen, die GR beantworten möchte, sind alle mit Messungen verbunden, die man in der Raumzeit machen kann. Alles, was Sie tun können, ist, Entfernungen, Winkel und die vergangene Zeit zu messen. Wenn Sie die Entfernung nicht durch die 4. räumliche Dimension messen können, dann ist es Ihnen egal, wie genau unsere Raumzeit in diese höherdimensionale Raumzeit eingebettet ist. Alles, was Sie wissen müssen, sind Entfernungen, Winkel und die vergangene Zeit. All dies ist streng in unserer 4-dimensionalen Raumzeit definiert.

Guck auf dieses Bild:

Der Hase besteht aus einer Reihe von Punkten und Linien, die benachbarte Punkte verbinden, wodurch Dreiecke entstehen. Jedes Dreieck sagt Ihnen, wie groß die Abstände und Winkel zwischen benachbarten Punkten sind. Tatsächlich reicht die Kenntnis der Länge jeder Linie im Bild aus, um alle Fragen zur Geometrie zu beantworten, die ein 2D-Physiker, der auf diesem Hasen lebt, zu stellen hoffen könnte (natürlich sollte es in Wirklichkeit unendlich viele unendlich kleine Dreiecke geben). Und unser Physiker braucht sich nicht um die 3. Dimension zu kümmern, er muss nur Entfernungen in seinem 2D-Raum kennen.

Die Frage ist dann nur noch, wie man dieses Wissen möglichst gut kodifiziert. Die Mathematiker haben dafür zwei sehr wichtige Maschinen entwickelt - die Metrik und den Riemann-Krümmungstensor, der aus der Metrik berechnet werden kann.

Fragen Sie sich in Ihrem ersten Beispiel, wenn Sie ein Blatt Papier biegen, welche Änderungen die Biegung bei Messungen bewirkt, die auf das Blatt selbst beschränkt sind? Wenn Sie es zu Dreiecken machen, bleiben die Winkel gleich und die Abstände auch. Daher krümmt die von Ihnen gezeigte Biegung die Geometrie des Papiers überhaupt nicht. Sie haben gerade eine extrinsische Krümmung erstellt, aber diese Krümmung ist vom Papier aus nicht zugänglich. Jemand, der auf dem Papier lebt, denkt, es ist immer noch so flach wie eh und je.

Sie könnten das Papier dann dehnen und dies würde sicherlich die gezeichneten Dreiecke verändern. Aber dies würde die Geometrie nicht noch krümmen. Gestrecktes Papier ist so flach wie nicht gestrecktes. Dreiecke haben sich geändert, aber sie gehorchen immer noch der euklidischen Geometrie. Sie können Ihre Verformung einfach als einfaches Neuzeichnen von Dreiecken betrachten (lassen Sie uns globale Eigenschaften für eine Weile ignorieren und uns nur auf eine kleine Nachbarschaft eines Punktes des Papiers konzentrieren). Wenn Sie einen Kreis zeichnen, wird sein Umfang sein$2\pi r$, Wo$r$Radius ist.

Erst wenn Sie das Papier so verformen, dass Geometrieformeln der High School versagen, erzeugen Sie eine intrinsische Krümmung. Nehmen wir zum Beispiel eine Kugel:

Plötzlich ist der Umfang des blauen Kreises nicht mehr$2\pi r$. Es ist$2 \pi a$, aber der auf der Kugel lebende Physiker kann dies nicht messen$a$. Er denkt$r$ist der Radius und so wird er herausfinden, dass etwas faul ist. Die Geometrie ist seltsam. Der Raum muss also gekrümmt sein.

Im Grunde geht es einfach um die Geometrie, die Sie verwenden.

In der euklidischen Ebene ergeben die Winkel eines Dreiecks immer 180 Grad. Aber zeichne ein Dreieck auf einer Kugel und sie summieren sich zu mehr. Zum Beispiel hat ein Dreieck, das vom Nordpol aus gezeichnet wird, ein Stück um den Äquator herum und wieder zurück zum Pol, zwei Winkel von jeweils 90 Grad, sodass der Polarwinkel den Winkelüberschuss darstellt.

Der Schlüssel ist, dass Sie keinen dreidimensionalen Globus benötigen. Ein Flachländer, der bemerkte, dass die Winkel größer wurden, je größer das Dreieck wurde, würde ohnehin eine sphärische (oder elliptische) Geometrie entwickeln. Wir sagen, dass die euklidische Geometrie intrinsisch flach ist, aber dass die sphärische Geometrie intrinsisch gekrümmt ist.

Analoge Verzerrungen in der Minkowski-Raumzeit führen uns zu der Erkenntnis, dass sie ebenfalls gekrümmt sein muss.