Warum sagen Physiker, dass sich die Raumzeit nicht „in“ oder „aus“ einer vierten Dimension biegt?

Sie können eine (Raumzeit-) Mannigfaltigkeit immer in einen ausreichend hochdimensionalen Raum einbetten ( wenn Sie eine haben$d$dimensionale Mannigfaltigkeit kann es in einen Raum von eingebettet werden$2d$Abmessungen ). Aber das gibt nicht an, um welchen Raum es sich handelt - es könnte jeder ausreichend hochdimensionale Raum sein. Angenommen, es ist eingebettet, sagt Ihnen überhaupt nichts. Daher ist es einfacher, gar keine Einbettung aufzurufen.

Ich würde sagen, die Antwort ist einfach das wissenschaftliche Prinzip der Sparsamkeit : Wenn eine empirisch belanglose Entität aus einer Theorie gestrichen werden kann, ist es vorzuziehen, sie zu streichen. Wie Sie betont haben, wird der Einbettungsraum mathematisch nicht benötigt und beeinflusst somit auch nicht den empirischen Anspruch der Theorie. Sparsamkeit fordert uns daher auf, es fallen zu lassen. Wenn Sie möchten, könnten Sie sagen, dass dies tatsächlich der Fall ist, weil es "keine Beweise gibt".

Aber ich würde auch sagen, dass ich persönlich Sparsamkeit wie viele andere philosophische Richtlinien in der Wissenschaft als zu dogmatisch empfinde. Während wir vielleicht auf die sparsamste Theorie „standardmäßig“ zurückgreifen sollten, könnte das Nachdenken über mögliche Erweiterungen davon zumindest zu neuen Denkweisen und Lösungswegen und vielleicht sogar später zu neuartigen Theorien führen, die tatsächlich Behauptungen aufstellen, die von empirischer Konsequenz sind kann dann getestet werden.

Auf der dritten Seite werde ich jedoch nicht behaupten, dass diese bestimmte Entität gute Früchte hervorbringt. Tatsächlich können viele darauf basierende Analogien in Bezug auf die Pädagogik ziemlich irreführend sein, weil wir die Einbettungsräume nicht wirklich so gut visualisieren können, wie wir es müssten, um sie überhaupt nützlich zu machen. Zum Beispiel dieses immer wieder in der Pop-Science "Gummifolie" aufgetauchte Bild davon, wie die Schwerkraft funktioniert.

Selbst wenn die Raumzeit in etwas Größeres eingebettet ist, haben wir keinen Zugang dazu oder irgendeine Möglichkeit, sie zu beobachten. Dies sagt Ihnen, dass unsere Theorien nur mit Größen formuliert werden sollten, die "intrinsisch" berechnet werden können, ohne Bezug auf eine Einbettung. Die Riemann-Krümmung ist also in, aber die mittlere Krümmung oder die zweite Grundform sind out. Jetzt können Sie mit Raumzeit arbeiten, die in einen zufälligen Umgebungsraum eingebettet ist, solange Sie darauf achten, dass die von Ihnen durchgeführten Berechnungen unabhängig von der Einbettung sind. Oder Sie können intrinsisch an der Raumzeit selbst arbeiten und müssen sich keine Gedanken darüber machen, irgendetwas zu überprüfen.

Anders ausgedrückt ist es einfacher, herauszufinden, welche Komponenten des Metrik-/Krümmungs-Tensors welche physikalische Bedeutung haben, wenn man intrinsisch arbeitet.

Darüber hinaus kann es mühsam sein, mit einer Einbettung zu beginnen und Formeln für die Metrik usw. herauszufinden. Umgekehrt, wenn Sie die Metrik kennen, kann es schwierig sein, eine Einbettung zu finden, die sie induziert. Wie andere Leute bereits erwähnt haben, gibt es abstrakte Existenztheoreme, die Ihnen sagen, dass jede Riemannsche Mannigfaltigkeit isometrisch in einen höherdimensionalen Raum eingebettet werden kann, aber es kann schwierig sein, die Einbettung explizit zu finden. Als lustiges Beispiel dafür ist ein flacher Torus sehr einfach intrinsisch zu visualisieren (einfach ein Parallelogramm zeichnen und paarweise gegenüberliegende Seiten identifizieren) und ohne allzu große Schwierigkeiten isometrisch in 4d eingebettet werden.

http://hevea-project.fr/ENPageToreDossierDePresse.html

dh wie ein wahnsinnig kompliziertes Fraktal.

Natürlich ist dieses Beispiel für die Raumzeit irrelevant, weil Sie möchten, dass zweite Ableitungen die Krümmung verstehen, aber es veranschaulicht schön die Tatsache, dass Sie durch die Annahme, dass Sie eine Einbettung haben, der Theorie eine Menge Komplikationen hinzufügen, die Sie eigentlich nie brauchen oder verwenden .

Ich habe viel Verständnis für diese Frage, denn ich denke, es stimmt, dass Physiker ein wenig zu stark auf der Idee waren, dass die Einbettung "falsch" ist. Einbettung ist eine wohldefinierte mathematische Idee, die dieselben Vorhersagen für beobachtbare Phänomene liefert wie eine Behandlung derselben Mannigfaltigkeit ohne Einbettung. Es ist also nicht durch Beobachtung ausgeschlossen. Es wird lediglich durch menschliche Einschätzungen der am wenigsten irreführenden oder elegantesten Formulierung ausgeschlossen oder ausgeschlossen.

Ich nehme an, was gegen die Idee der Einbettung spricht, ist erstens, dass sie möglicherweise mehr als eine zusätzliche Dimension erfordert, und zweitens, dass sie dem Nichtexperten vorschlagen könnte, dass der Rest des höherdimensionalen Raums verfügbar ist, um erkundet oder gemessen zu werden. Was für die Einbettungsidee wichtig ist, ist die Hilfe, die sie unserer Intuition über die Krümmung gibt, und die Tatsache, dass sie manchmal nette Möglichkeiten bietet, Mannigfaltigkeiten zu behandeln und Geodäten zu finden. Zum Beispiel gibt Flamms Paraboloid einen guten Einblick in die richtigen Entfernungen um ein Schwarzes Loch. Und wer hat jemals an ein Wurmloch gedacht, ohne sich eine dieser Röhren vorzustellen?

Insgesamt denke ich also, dass die Botschaft von Experten an die breite Öffentlichkeit hier nicht lauten sollte, dass es falsch ist, die Raumzeit als in einen höherdimensionalen Raum eingebettet zu betrachten, sondern dass diese Vorstellung eine nützliche mathematische Methode mit begrenztem Nutzen ist. Das einbettende Bild ist in gewisser Hinsicht irreführend, denn es scheint zu suggerieren, dass der Rest des höherdimensionalen Raums im gleichen Sinne „dort“ ist, wie die 4-dimensionale Raumzeit und ihr Materiegehalt „dort“ sind, aber das ist nicht der Fall weil der höherdimensionale Raum einfach von einem Mathematiker ins Leben gerufen wurde, der mit einem Stift schwenkte.

Um dies zu verstehen, müssen Sie sich zunächst ein klares Bild über den Unterschied zwischen intrinsischer Krümmung und extrinsischer Krümmung machen . Stellen Sie sich eine Ameise vor, die auf einer Kugel lebt. Für die Ameise sieht die Kugel flach aus, weil sie so winzig ist. Aber wenn er bestimmte Experimente durchführt, könnte er daraus schließen, dass die Kugel tatsächlich gekrümmt ist. Stellen wir uns vor, die Ameise trägt ein kleines Gyroskop, das immer in die gleiche Richtung zeigt. Wenn die Ameise auf einer Linie läuft, die sie für eine gerade Linie hält, neigt sich das Gyroskop langsam. Dies sollte bei einer tatsächlichen geraden Linie nicht passieren, daher schließen wir daraus, dass die Oberfläche tatsächlich gekrümmt ist.

Da die Ameise in einem 3D-Universum lebt, aber auf eine 2D-Oberfläche beschränkt ist, nennen wir diese Krümmung extrinsisch . Der eigentliche Raum ist nicht gekrümmt, aber aufgrund der Beschränkung durch die Kugel erscheint er so, als wäre er gekrümmt.

Im Gegensatz dazu gibt es auch eine Eigenkrümmung . Stellen Sie sich statt einer Ameise zweidimensionale Wesen vor, die in einem Universum mit der Metrik einer 2-Sphäre leben . Ihre Zellen sind 2D. Ihre DNA ist 2D. Ihre Vision basiert auf Lichtstrahlen, die sich in 2D ausbreiten. Diese Wesen erfahren auch eine Krümmung, aber die Krümmung, die sie erfahren, ist nicht auf eine zusätzliche Dimension zurückzuführen, sondern nur darauf, dass ihr Universum intrinsisch gekrümmt ist. Wenn diese Wesen zum Beispiel um ein ausreichend großes Dreieck herumlaufen, sind die Winkel größer als$180^\circ$. Wenn sie einen parallelen Transport entlang des Dreiecks durchführen (wie im Bild unten), erhält er nicht denselben Vektor zurück. Physiker glauben, dass unser Universum intrinsisch gekrümmt ist.

Was ist also natürlicher? Die äußere Krümmung erscheint Ihnen vielleicht natürlicher, weil Sie damit vertraut sind. Schließlich seid ihr derzeit gezwungen, auf der Oberfläche einer 2-Sphäre zu leben. Aber aus physikalischer Sicht ist die extrinsische Krümmung ein bisschen weit hergeholt. Sowohl die intrinsische als auch die extrinsische Krümmung könnten die Krümmung der Raumzeit erklären, aber bei zwei gleichen Theorien sollte man die einfachste auswählen. Experimentelle Messungen haben eine „große“ fünfte Dimension ausgeschlossen, weil sich diese in der Stärke der fundamentalen Kräfte bemerkbar machen würde$^\dagger$. Es besteht immer noch die Möglichkeit kleiner, zusammengerollter Dimensionen, wie sie in der Stringtheorie vorgeschlagen werden, aber darum geht es in Ihrer Frage nicht. Um also die extrinsische Krümmung in Ihr Modell des Universums aufzunehmen, müssten Sie zuerst ihre Existenz beweisen und dann auch erklären, warum die Auswirkungen dieser zusätzlichen Dimension in Experimenten nicht gesehen werden. Die intrinsische Krümmung ist hier die einfachere, natürlichere Option, obwohl sie kontraintuitiv ist.

$\dagger$Ich habe keine Quelle dafür, also wenn jemand eine Quelle dafür hätte, wäre das großartig.

Bildquelle

Das Prinzip von Parsimony/Occams Rasiermesser impliziert, dass die einfachste Lösung die beste ist. Ie ignorieren jede Möglichkeit der eingebetteten Raumzeit.

Genauer gesagt geht es um den Kern dessen, was Wissenschaft ist. Wissenschaftliche Erkenntnisse basieren auf der Idee, dass Theorien durch Beobachtung direkt oder indirekt mit der Realität verbunden werden können; Theorien über das Nicht-Beobachtbare sind die Domäne der Religion und dergleichen. Ich persönlich habe eine Theorie, dass das Universum von einem riesigen orangefarbenen Drachen erschaffen und geführt wurde (er hat die Schildkröten gefressen), aber er weigert sich hartnäckig, sich zu zeigen. Leider ist Er nicht beobachtbar, also ist meine Theorie nicht wissenschaftlich. Ihr vorgeschlagener höherdimensionaler Raum ist auch nicht beobachtbar und daher nicht wissenschaftlich.

Interessanterweise wurden die Stringtheorie und dergleichen als unwissenschaftlich kritisiert, weil ihre Vorhersagen derzeit nicht überprüfbar sind; Es gibt tatsächlich eine Reihe von Grauzonen, aber mir ist kein Argument bekannt (das nicht viel bedeutet), das eingebettete Raumzeit erfordert und sie oder ihre Anwesenheit beobachtbar macht.

Außerdem gibt es natürlich die einfache Intuition, dass, wenn sich etwas auf einer gekrümmten Oberfläche befindet (wie ein Ball oder ein Sattel), „etwas“ innerhalb des „Balls“ oder zwischen den Seiten des „Sattels“ sein muss.

Ich würde vorschlagen, dass Intuition nicht immer ein gutes Werkzeug ist, wenn sich jemand mit abstrakter Mathematik beschäftigt, zumindest am Anfang - ein weiterer Grund, sich viel besser mit der Arbeit mit "biegsamer" 4D-Raumzeit vertraut zu machen.

Vielleicht interessieren Sie sich für ADM oder die Hamiltonsche Formulierung von GR. Darin drücken Sie die Einstein-Feldgleichungen als zeitliche Entwicklung einer raumähnlichen Hyperfläche aus. Die gesamte 4D-Mannigfaltigkeit wird dann von der Geschichte dieser Hyperfläche überspannt. Da kann man sich wirklich vorstellen, dass die Hyperfläche in die 4. Dimension der Zeit hinein- oder hinausgebogen wird. Tatsächlich steht diese äußere Krümmung in direktem Zusammenhang mit dem Impuls der Hyperfläche. Wie Sie sich vorstellen können, sind viele technische Details beteiligt, einschließlich der Tatsache, dass die Wahl der Hyperfläche und die Wahl der Zeitfunktion höchst willkürlich sind, aber nichtsdestotrotz kann es einige nette Beispiele geben.

Eine gute Frage. Es gibt mehrere gute Antworten. Die Einbettung der vierdimensionalen Raumzeit in eine höhere Dimension, aber es erklärt nicht, was die Krümmung der Raumzeit ist. Es ist intrinsisch und kann innerhalb der vier Dimensionen beobachtet werden. Stellen Sie sich vor, die Erde dreht sich um die Sonne. Wir beobachten den jährlichen Zyklus der Schwankungen unseres Wetters und den Winkel der Sonnenbahn am Himmel. Wir können die Bahn der Erde einer Gravitationskraft zuschreiben, wie wir es vor der Allgemeinen Relativitätstheorie getan haben, oder wir können sie der Krümmung der Raumzeit zuschreiben, wie sie von der Allgemeinen Relativitätstheorie vorhergesagt wurde. Im zweiten Fall bewegt sich die Erde in einer gekrümmten Raumzeit auf einer "geraden Linie". Dies erfordert keinen höherdimensionalen Raum, um die Raumzeit darin einzubetten. Wir können die Krümmung in winzigen Variationen zwischen Uhren auf Meereshöhe und Uhren in großen Höhen beobachten. Uhren in großer Höhe laufen etwas langsamer als Uhren auf Meereshöhe. Die zeitähnliche Dimension der Raumzeit ist in großen Höhen im Vergleich zu Meereshöhe gedehnt. Auch hier besteht keine experimentelle oder theoretische Notwendigkeit, die Raumzeit in einen höherdimensionalen Raum einzubetten.

Die Antwort auf Ihre Frage ist die intrinsische Krümmung. Wir leben zufällig in einem Universum, in dem die Krümmung unserer Raumzeit intrinsisch ist. Das können wir in unseren Experimenten feststellen. Wie zum Beispiel gibt es ein schönes Beispiel für die Shapiro-Verzögerung, wir, die wir innerhalb der 4-dimensionalen Raumzeit existieren, können sagen, dass dies durch die intrinsische Krümmung unserer Raumzeit verursacht wird.

Das Raster soll zeigen, wie das Blatt gedehnt wurde. Das Blatt ist immer noch 2-D, weil wir weder nach oben noch nach unten gestreckt haben, aber es wurde verformt, sodass sich der Abstand zwischen den Gitterlinien ändert. Der Schlüsselgedanke (und am schwersten intuitiv zu verstehen) ist, dass für Flachländer, die auf dem Bettlaken leben, die Gitterlinien immer noch gerade aussehen. Ein Flachländer, der entlang der mittleren vertikalen Gitterlinie geht, würde denken, dass er in einer geraden Linie geht, sich aber tatsächlich in einer Kurve bewegt. Diese Art von Krümmung tritt in der Allgemeinen Relativitätstheorie auf. Es ist intrinsisch, nicht extrinsisch. Um auf Ihre Frage zurückzukommen, Sie können sich nicht hinter das Universum bewegen, weil es kein Hinten gibt, in das Sie sich bewegen können. Es gibt nur die drei räumlichen und eine zeitliche Dimension – sie sind nur an sich gekrümmt.

Das Universum ist flach und warum können wir den Raum "hinter" unserer Universumsebene nicht sehen oder darauf zugreifen?

Um nun den Unterschied zwischen extrinsischer und intrinsischer Krümmung zu verstehen, muss man sich das Gitter im Beispiel ansehen und verstehen, dass das Gitter intrinsisch gekrümmt ist, weil es sich nicht in einer hypothetischen höheren Dimension biegt. Die Krümmung muss sich nicht auf eine höhere Dimension erstrecken (wie Sie sagen).

Und das ist bei unserem Universum der Fall, denn in unserer 4-dimensionalen Raumzeit können wir aus Experimenten sagen, dass es eine Krümmung gibt, und es ist intrinsisch gekrümmt.

Weil es sich nach Definition der Raumzeit und der Beziehung zwischen Masse und Krümmung (Einsteins Feldgleichungen) in nichts biegt.

Das grafische Bild eines Teils einer$N$-dimensionaler Raum, der sich zu einem ($N+1$)-dimensionaler Raum ist eine irreführende Metapher aus der Populärwissenschaft, in der ein massives Objekt, das die Krümmung der Raumzeit verändert, (irreführend) durch etwas wie eine Bowlingkugel dargestellt wird, die auf einer geschmeidigen Membran (wie einem Trampolin) platziert ist und die Oberfläche des Trampolins krümmt von einer quasi 2-dimensionalen flachen Scheibe in ein 3-dimensionales trichterartiges Objekt.

• Ungenaue (irreführende/populäre) Metapher:

• bessere Darstellung:

Raumzeit ist ein Konzept, das auf der Verwendung von vier Koordinaten (x, y, z, t) basiert: ein 4-dimensionaler Raum, im Gegensatz zu der Beschreibung, basierend auf der (klassischen, Newtonschen) Wahl von 3 Raumkoordinaten (x, y , z) und 1 (separate, unabhängige) Zeitkoordinate (t).

Unter Verwendung der relativistischen Beschreibung beschreibt ein Planet im freien Raum eine Geodäte, die eine gerade Linie ist, während ein Planet, der einen anderen umkreist, einer Geodäte folgt, die die Tatsache widerspiegelt, dass die Raumzeit lokal von der Schwerkraft beeinflusst wird (als Krümmung bezeichnet).

Also die klassische Beschreibung:

« Planet B umkreist aufgrund der Gravitationskraft zwischen A und B auf einer elliptischen Bahn im Weltraum um Planet A »

Ist das Äquivalent zu sagen:

« Die Massen von A und B beeinflussen die Raumzeit lokal um A und B herum und geben der Raumzeit (nicht dem Raum) eine gegebene lokale Krümmungsfunktion dieser Massen, so dass die Projektion der Position von A in drei Dimensionen als Funktion von Zeit ergibt eine elliptische Bahn »

Aber in dieser 4-dimensionalen Beschreibung des Phänomens „verbiegt“ sich die 4-dimensionale Raumzeit in keinem Schritt des Prozesses in irgendetwas höherer Dimensionenordnung. Der 4-dimensionale Raum benötigt keine 5. Dimension, um die Evolution der Systeme zu beschreiben, mit denen er sich beschäftigt.