Schwerkraft in anderen als 3 räumlichen Dimensionen und stabile Umlaufbahnen

Konkret bezieht sich das auf das „ Gesetz des umgekehrten Quadrats “, die Natur der Gravitationskraft, dh die Schwerkraft ist umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung:

$F_g \propto \frac{1}{d^2}$.

Wenn Sie dieses Konzept auf das der allgemeinen Kräfte des Potenzgesetzes erweitern (z. B. wenn Sie über den Virialsatz nachdenken ), können Sie schreiben:

$F \propto d^a$,

Stabile Bahnen sind nur für wenige, spezielle Werte des Exponenten ' möglich$a$'---insbesondere und genauer gesagt 'geschlossene ¹ ', stabile Bahnen treten nur für auf$a = -2$(das Abstandsquadratgesetz) und$a = 1$( Hookesches Gesetz ). Dies wird „ Bertrands Theorem “ genannt.

Was hat das nun mit räumlichen Dimensionen zu tun? Nun, es stellt sich heraus, dass bei einer genaueren Beschreibung der Schwerkraft (insbesondere der allgemeinen Relativitätstheorie ) der Exponent des Potenzgesetzes um eins kleiner ist als die Dimension des Raums. Wenn der Raum zum Beispiel zweidimensional wäre, würde die Kraft so aussehen$F \propto \frac{1}{d}$, und es gäbe keine geschlossenen Umlaufbahnen.

Beachten Sie auch das$a<-3$(und damit 4 oder mehr räumliche Dimensionen) ist bedingungslos instabil, wie in der Antwort von @ nervxxx unten angegeben.

---

1: Eine „geschlossene“ Umlaufbahn ist eine Umlaufbahn, bei der das Teilchen zu seiner vorherigen Position im Phasenraum zurückkehrt (dh seine Umlaufbahn wiederholt sich).

Ich werde versuchen, es zu beantworten, indem ich radiale Abweichungen von einer kreisförmigen Umlaufbahn betrachte. Zunächst müssen wir zwei Dinge über unser n-dimensionales Universum annehmen: Das zweite Newtonsche Gesetz gilt immer noch, das heißt,

für den Positionsvektor eines Partikels in n-Dimensionen$\vec{x} = (x_1, x_2, \cdots x_n)$,

$$\begin{align} m \ddot{\vec{x}} = \vec{F}, \end{align}$$ wo $\vec{F}$ist eine n-dimensionale Kraft,

und auch, dass das Gravitationsgesetz durch das Gaußsche Gesetz gegeben ist:

$$\begin{align} \nabla \cdot \vec{g} = -4\pi G\rho, \end{align}$$ wo $\vec{g}$ist das Gravitationskraftfeld. (Siehe Wikipedia für weitere Informationen).

Die Lösung für diese pde ist

$$\begin{align} \vec{g} \sim = - r^{1-n} \hat{e_r}, \end{align}$$ Pro $n \geq 2$. (Für $n = 1$die Bewegung ist auf einer Linie und weil es immer attraktiv ist, wird die 'Umlaufbahn' immer noch eine 'Umlaufbahn' bleiben)

Da die Bewegung immer darauf beschränkt ist, sich in der 2-Ebene zu bewegen, die durch den anfänglichen radialen Vektor aufgespannt wird$\vec{r}_0$und der Anfangsgeschwindigkeitsvektor$\vec{v}_0$, ist es am einfachsten, die Bewegung in Zylinderkoordinaten zu analysieren. Das heißt, Newtons zweites Gesetz wird

$$\begin{align} m(\ddot{r} - \dot{\theta}^2r)&=F_r \\ m(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta}) &= F_\theta \\ m \ddot{x_3} &= F_{x_3} \\ m \ddot{x_4} &= F_{x_4} \\ &\cdots \\ m \ddot{x_n} &= F_{x_n}, \end{align}$$ wo $x_1$und $x_2$sind Koordinaten der aufgespannten Ebene $\vec{v}_0$und $\vec{r}_0$. Hier $r$wirklich bedeutet $\sqrt{x_1^2 + x_2^2}$, aber es stellt sich heraus, dass die Bewegung nur 2-D ist, dh $x_3 = x_4 = \cdots x_n = 0$, Wir können sagen $r = \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}$.

Jetzt machen wir uns die Tatsache zunutze, dass die Schwerkraft immer radial ist, also$F_\theta = 0$und wir können die ersten beiden Gleichungen kombinieren, um zu erhalten

$$\begin{align} \ddot{r} - \frac{L^2}{r^3} = F_r = f(r), \end{align}$$ wo $L$ist eine Bewegungskonstante (in 3D ist dies der Drehimpuls).

Für eine Kreisbahn bei$r = r_c$,$\ddot{r} = 0$, also bleiben wir übrig

$$\begin{align} -\frac{L^2}{r^3} = f(r). \end{align}$$ Betrachten Sie kleine Abweichungen von $r_c$: $x = r-r_c$. Wenn man dies in das Newtonsche Gesetz einfügt und zur ersten Ordnung erweitert, erhält man $$\begin{align} \ddot{x} + \left[-3f(r_c)/r_c-f'(r_c) \right]x = 0. \end{align}$$ Dies ist eine einfache harmonische Gleichung, wenn das Zeug in der Klammer positiv ist. Wir erhalten also eine Stabilitätsbedingung $$\begin{align} \left[-3f(r_c)/r_c-f'(r_c) \right] > 0. \end{align}$$

Prüfen wir dies anhand einer Radialkraft$f(r) = -kr^d$. Die Stabilitätsbedingung gibt

$$\begin{align} -k r_c^d -\frac{kd}{3}r_c^d < 0, \end{align}$$ was impliziert $d > -3$. Also wenn das Kraftgesetz so geht $r^d$wo $d > -3$, dann ist die Umlaufbahn nicht stabil. Das kann man mit etwas mehr Arbeit zeigen $d = -3$ist auch instabil.

Also zu den Maßen$n \geq 4$, die Umlaufbahn ist instabil. Es scheint jedoch, dass z$d = -1$oder$-2$, die Umlaufbahn ist stabil, was uns zu dem Ergebnis führt, dass Umlaufbahnen in 3 Dimensionen (unsere Welt) und auch die in 2 Dimensionen stabil sind, was der Aussage des Videos widerspricht. Ich könnte mich aber irren.

Beifall.

Ein kurzer Punkt, der zu den oben geposteten Antworten hinzugefügt werden kann, obwohl ich nicht so tun kann, als würde ich die ganze Mathematik verstehen:

Soweit ich weiß, sind Umlaufbahnen in 2D in dem Sinne stabil, dass der umlaufende Körper nicht entkommt oder in den Primärkörper kollabiert. Siehe zB

https://www.reddit.com/r/askscience/comments/q8fmo/what_would_orbits_look_like_in_a_2d_universe/

Wenn die 2D-Kraft auf 1/r abfällt, ist ihr Potential logarithmisch – was bedeutet, dass die Fluchtgeschwindigkeit unendlich ist. Dies ist ziemlich einfach zu zeigen; sogar ich kann das.

Wenn ich das richtig verstanden habe, scheinen die Augenhöhlen aber meistens nicht geschlossen, sondern wie Blütenblätter geformt zu sein. Für nahezu kreisförmige Umlaufbahnen wäre das nicht unbedingt ein allzu großes Problem.

Ich nehme an, dies spricht über die Newtonsche Schwerkraft (dh nicht über die Relativitätstheorie). Betrachten wir das effektive Potenzial:

$$V_\text{eff}(r) = \frac{L^2}{2mr^2} + V(r)$$

wo$V$ist die gewöhnliche potentielle Energie, und$L$ist der Drehimpuls. Zunächst mag man fragen, warum das effektive Potential diese Form hat. Denken Sie daran, dass für ein einzelnes Teilchen$L = mr^2 \omega$, das ist also äquivalent,

$$V_\text{eff}(r) = \frac{\omega^2 r^2}{2m} + V(r)$$

Dieser erste Term ergibt sich aus den Bewegungsgleichungen für ein freies Teilchen. Es ist zweckmäßig, es in Form des Drehimpulses zu formulieren, da der Drehimpuls unter zentralen Kräften eine Erhaltungsgröße ist.

Warum nutzen wir das effektive Potenzial? Weil es uns hilft, nur über die radialen Bewegungen eines Teilchens zu sprechen und die Winkelbewegungen mit dem realen Potenzial in einen Topf zu werfen. Ein lokales Extremum des effektiven Potentials sagt uns etwas über einen Gleichgewichtsabstand.

Jetzt, in 3D, das Potenzial$V(r)$denn die Schwerkraft ist$-GMm/r$. Was dies bedeutet, ist, dass, wie$r \to 0$, wird das effektive Potential dank des Drehimpulsanteils schließlich explodieren, den Gravitationsanteil überwinden und das Teilchen wieder nach außen zwingen, es sei denn, es liegt auf einer direkten Einfallsbahn.

In 2d ist das Potenzial anders. Warum ist das? Die Newtonsche Gravitation befasst sich mit Differentialgleichungen der Form$\nabla^2 V \propto \rho$. Die Punktquellenlösung dieser Gleichung (die Greensche Funktion) ist proportional zu$\ln r$--vergleichen Sie zum Beispiel das elektrische Potential einer unendlichen Linienladung. Dies ist genau die gleiche Geometrie und Differentialgleichung, zumindest in der Struktur.

Lassen Sie uns für eine Sekunde überprüfen, ob dies der Fall ist. Lassen$V = C \ln r$in 2d für einige konstant$C$. Dann ist die Gravitationskraft

$$F = - \frac{\partial V}{\partial r} = -C/r$$

was innerlich für alles Positive ist$C$. Das ist wichtig. In 2d sieht unser effektives Potenzial dann so aus,

$$V_\text{eff} = Kr^{-2} + C \ln r$$

für zwei Konstanten$K, C$. Die Kraft ist

$$F_{\text{eff}} = 2 K r^{-3} - C r^{-1} = -r^{-1} (-2K r^{-2} + C)$$

So$r_\text{eq} = \sqrt{2K/C}$. Aber ist dieses Gleichgewicht stabil?

$$\frac{\partial F_\text{eff}}{\partial r} = -6 Kr^{-4} + C r^{-2}$$

Bei$r_\text{eq}$, dies wird ausgewertet$-6C^2/4K + C^2/2K = -C^2/K$.

Hm. Das würde darauf hindeuten, dass der Gleichgewichtspunkt stabil ist. Also, vielleicht hat jemand eine Referenz, um dies vorzuschlagen. Ich stecke fest.