Lyapunov Stabilität von Kreisbahnen

Question

Lyapunov Stabilität von Kreisbahnen

Pier94

Ich studiere Klassische Mechanik zu Arnolds „Mathematischen Methoden der Klassischen Mechanik“. Bei einem Problem werde ich gebeten, wofür zu finden $\alpha$ die kreisförmigen Bahnen im zentralen Feldproblem sind stabil mit dem Potential in der Form Lyapunov

U (R) = R^{a}, - 2 \leq a < \infty

$U(r)=r^{\alpha}, -2 \leq \alpha < \infty$ Ich weiß, dass die Antwort ist

α = 2

$\alpha =2$ aber ich kann nicht herausfinden warum. Ich kenne die Definition der Lyapunov-Stabilität (die Lösung

φ (t)

$\varphi(t)$ auf ihr definiert, zum Beispiel rechtes maximales Existenzintervall,

J_{φ}^{+} = [τ, + \infty)

$J_{\varphi}^{+}=[\tau,+\infty)$ , mit Anfangsbedingung

(τ, ξ)

$(\tau,\xi)$ für ein autonomes System ist Lyapunov stabil, wenn

\forall ε, \exists δ (ε)

$\forall \varepsilon, \exists \delta (\varepsilon)$ so dass wenn

‖ ξ - η ‖ < δ

$\|\xi -\eta \|<\delta$ die Lösung

ψ (t)

$\psi(t)$ mit Anfangszustand

(τ, η)

$(\tau,\eta)$ definiert ist

J_{ψ}^{+} = J_{φ}^{+}

$J_{\psi}^{+}=J_{\varphi}^{+}$ Und

‖ ψ (t) - φ (t) ‖ < ϵ, \forall t \in [τ, + \infty)

$\| \psi(t)-\varphi(t) \|<\epsilon, \forall t \in [\tau,+\infty)$ ) und ich weiß auch, wie man die Lyapunov-Funktion verwendet, um diese Eigenschaft zu beweisen. Das Problem ist, dass ich weder eine richtige Lyapunov-Funktion finden noch die Lyapunov-Stabilität beweisen kann, indem ich die Eigenwerte der Lösung des Systems verwende. Ich kann auch den Unterschied zwischen dieser Bedingung und der Stabilitätsbedingung nicht verstehen, die ich mit kleinen Abweichungen von der Bedingung finden kann

\ddot{r} = 0

$\ddot r=0$ . Tatsächlich (vorausgesetzt, das

M

$M$ ist der Drehimpuls für das System und die Masse

m

$m$ =1) wir haben das:

\ddot{R} - \frac{M^{2}}{R^{3}} = - \frac{\partial U (R)}{\partial R} = F (R)

$\ddot r -\frac{M^2}{r^3}=-\frac{\partial U(r)}{\partial r}=f(r)$ und für

\ddot{r} = 0

$\ddot r=0$ Wir haben die Kreisbahnen für das System, wo der Radius

r_{c}

$r_c$ ist durch die Relation gegeben

- \frac{M^{2}}{R {_{C}}^{3}} = - \frac{\partial U (R)}{\partial R} |_{R = R_{C}} = F (R_{C})

$-\frac{M^2}{r{_c}^{3}}=-\frac{\partial U(r)}{\partial r}\bigg|_{r=r_c}=f(r_c)$ Für kleine Abfahrten

r_{c} + ε

$r_c+\varepsilon$ Einsetzen in die vorherige Gleichung und Verwenden der Taylor-Entwicklung, die wir haben

F (R_{C} + ε) = \ddot{ε} - \frac{M^{2}}{(R_{C} + ε)^{3}} \Rightarrow \ddot{ε} = (F^{'} (R_{C}) + \frac{3 F (R_{C})}{R_{C}}) ε

$f(r_c+\varepsilon)=\ddot \varepsilon -\frac{M^2}{(r_c+\varepsilon)^3}\Rightarrow \ddot \varepsilon= \bigg(f'(r_c)+\frac{3f(r_c)}{r_C} \bigg)\varepsilon$ Wenn nun der Term in Klammern negativ ist, habe ich die Gleichung eines harmonischen Oszillators und die Kreisbahnen sind somit in diesem Sinne stabil. Mit dem Potenzial in Form

U (r) = r^{α}

$U(r)=r^\alpha$ dieser Zustand ist

α > - 3

$\alpha>-3$ . Zusammenfassend sind meine Fragen:

Was ist der Unterschied zwischen diesen beiden Arten von Stabilität?
Ist Lyapunov einer der Stärkeren und in welchem Sinne?
Wie kann ich das beweisen, wenn $\alpha=2$ Kreisbahnen sind Lyapunov stabil?

Antworten (1)

Lyapunov Stabilität von Kreisbahnen

Dirakologie · Answer 1

Lassen Sie mich radiale Stabilität die Stabilität von nennen $r$ um $r_0$ , Wo $r_0$ ist der Radius der Kreisbahn. Der Unterschied zwischen dieser und der Lyapunov-Stabilität besteht darin, dass letztere nicht nur zuschaut $r$ sondern auch zum Polarwinkel $\theta$ (für eine zentrale Kraft) und ihre konjugierten Impulse. In diesem Sinne würde ich also sagen, dass Lyapunov stärker ist.

Im Grunde eine Umlaufbahn $\lambda(t)$ auf dem Phasenraum ist Lyapunov stabil, wenn er beliebig nahe an der Umlaufbahn bleibt $\lambda_0(t)$ (die Kreisbahn), solange wir die Anfangsbedingungen beider Fälle willkürlich nahe bringen. Wenn wir nun dieses Lyapunov-Kriterium nur auf die radiale Koordinate beschränken, dann stimmt es mit den radialen Stabilitätskriterien überein.

Ich werde das von Arnold behauptete Ergebnis nicht beweisen, aber ich kann Ihnen etwas Intuition geben. Betrachten Sie zum Beispiel die attraktive inverse quadratische Kraft, deren Potenzial ist $U=-r^{-1}$ . Eine gestörte (um die kreisförmige) Umlaufbahn ist eine Ellipse. Nach Keplers drittem Gesetz haben wir, dass die Periode dieser gestörten Umlaufbahn ist

T_{P}^{2} \propto A^{3} .

$T_p^2\propto a^3.$ Seit

a > r_{0}

$a>r_0$ , dieser Zeitraum ist größer als der Zeitraum

T_{0}

$T_0$ der Kreisbahn. Dies impliziert, dass die Differenz zwischen den Winkeln der beiden Bahnen,

| θ_{p} (t) - θ_{0} (t) |

$|\theta_p(t)-\theta_0(t)|$ wächst mit der Zeit unendlich. Sie bleiben nicht nahe beieinander, daher ist diese Umlaufbahn nicht Lyapunov stabil. Es ist jedoch radial stabil, wie Sie gerade in der Frage gezeigt haben.

Betrachten Sie nun einen isotropen harmonischen Oszillator, $U=r^2$ . Die Umlaufbahn kann durch Überlagerung zweier harmonischer Bewegungen mit gleicher Frequenz erhalten werden, die orthogonal auf der Ebene angeordnet sind. Da die Periode jeder harmonischen Bewegung amplitudenunabhängig ist, ist auch die Periode des isotropen Oszillators amplitudenunabhängig. Der Unterschied $|\theta_p(t)-\theta_0(t)|$ ist also konstant und kann durch Wahl beliebig enger Anfangsbedingungen beliebig klein gemacht werden. Der isotrope Oszillator ist Lyapunov-stabil.

Ich denke, ein Beweis für Arnolds Behauptung wäre, attraktive und radial stabile Potenzgesetzpotentiale vorzuschlagen, $U\propto r^n$ , $n>-3$ , und zeige das dann nur für $n=2$ die Periode der gestörten Bahn ist gleich der Periode der Kreisbahn.

Dies ist die beste Antwort, die ich seit langem auf SE gelesen habe. Vielen Dank, dass Sie darauf geantwortet und es nicht einfach preisgegeben haben.

Lyapunov Stabilität von Kreisbahnen

Pier94

Antworten (1)

Dirakologie

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