Die allgemeinste Kraft, die den ersten Teil von Newtons Shell-Theorem erfüllen kann (jeder kugelsymmetrische Körper wirkt auf äußere Körper, als ob seine Masse in seinem Zentrum konzentriert wäre), ist eine inverse quadratische Kraft , ein harmonischer Oszillator oder die Summe beider Arten von Kräften .
Interessanterweise sind diese beiden Arten von Kräften (inverser quadratischer und harmonischer Oszillator) auch die einzigen zwei Arten von Kräften, die den Satz von Bertrand erfüllen :
Unter den zentralen Kraftpotentialen mit gebundenen Bahnen gibt es nur zwei Arten von zentralen Kraftpotentialen mit der Eigenschaft, dass alle gebundenen Bahnen auch geschlossene Bahnen sind, das invers-quadratische Kraftpotential und das harmonische Oszillatorpotential.
Beide Theoreme scheinen sich mit völlig unterschiedlichen Problemen zu befassen (geschlossene Umlaufbahnen vs. der Einfluss kugelförmiger Körper auf externe Körper). Aber da die Lösung für beide Probleme die gleiche Art von Kräften ist, frage ich mich, ob es eine tiefere Verbindung zwischen diesen beiden Theoremen geben könnte. Was könnte die Verbindung zwischen Newtons Shell-Theorem und Bertrands Theorem sein?
TL;DR: Es ist ein Zufall.
Erstens stimmen die Potenzgesetze nicht überein Räumliche Dimensionen:
Einerseits ist Bertrands Theorem auf eine 2D-Orbitebene beschränkt (aufgrund der Drehimpulserhaltung) und hängt nicht von der räumlichen Dimension der Umgebung ab .
Andererseits ist Newtons Schalensatz an das Gesetz von Gauß gebunden . Gauss-Flächen sind Hyperflächen der Dimension .
Zweitens, auch wenn wir uns darauf beschränken räumlichen Dimensionen sind die Lösungen unterschiedlich:
Einerseits funktioniert der Satz von Bertrand nur für a Kraftgesetz und das Hookesche Gesetz separat, aber nicht für nicht-triviale Linearkombinationen davon.
Andererseits funktioniert der umgekehrte Newtonsche Schalensatz auch für lineare Kombinationen davon.
Drittens sind die bekannten Beweise des Satzes von Bertrand länger und die Forderung geschlossener Bahnen führt zu einer Rationalitätsbedingung, die im umgekehrten Newtonschen Schalensatz kein Gegenstück hat.
QMechaniker