Der Satz von Bertrand charakterisiert die Kraftgesetze, die stabile Kreisbahnen bestimmen. Es besagt, dass die einzig zulässigen Kraftgesetze das Hooke'sche Potential und das Gesetz der umgekehrten Quadrate sind. Der Beweis des Theorems beinhaltet einige Störungstechniken und Reihenentwicklung.
Wenn ich über ein solches Problem nachdenke, fällt mir am natürlichsten ein, dass die wirksame Kraft eine Rückstellkraft sein sollte, damit Kreisbahnen stabil sind.
, damit die Umlaufbahn kreisförmig ist.
, damit die Umlaufbahn stabil ist. Unter der Annahme eines Potenzgesetzes , für die zentrale Kraft, gibt mir das Lösen die Lösung .
Dies ist sehr schwach im Vergleich zur Aussage des Satzes von Bertrand. Könnte mir jemand die Gründe für die verwendete Störungstechnik erklären und was in meiner Interpretation von "stabil" in meiner Ableitung fehlt?
Was Sie gerade getan haben, war, eine Bedingung dafür zu finden, dass attraktive Kräfte des Potenzgesetzes stabile Umlaufbahnen haben, wobei stabil bedeutet, dass sie begrenzt bleiben, wenn sie um die kreisförmige Umlaufbahn herum gestört werden. Sie haben das richtige Ergebnis erhalten.
Der Satz von Bertrand sagt jedoch etwas anderes aus: Die einzigen Kräfte, deren begrenzte Bahnen geschlossene Bahnen implizieren, sind das Hookesche Gesetz und die anziehende inverse quadratische Kraft . Eine geschlossene Umlaufbahn ist eine, bei der das Teilchen nach endlicher Zeit seinen Impuls und seine Position wiederholt – es schließt sich im Phasenraum.
Die Idee hinter dem Beweis des Satzes von Bertrand ist, eine gestörte Umlaufbahn zu betrachten und dann die Perioden der Winkelumdrehung und der radialen Schwingungen zu berechnen. Wenn diese Perioden kommensurabel sind, dann ist die Umlaufbahn geschlossen. Den Beweis finden Sie hier .
Benutzer36790
Zhanfeng Lim