Kepler-Bahnen: Kleine Störungen -> Elliptische Bahnen

Kurze Antwort: Verwenden Sie die radiale Beschleunigungskomponente$a_\mathrm r$von allen$\bf a$durch die zentrale Kraft und leiten dann die SHM-Gleichung unter Verwendung der Eigenschaften der kreisförmigen Umlaufbahnbewegung ab ( es können auch effektive Potentialenergiekurven verwendet werden).$\dot r= 0$und unter Berücksichtigung der Tatsache, dass SHM nur auftreten würde, wenn die kreisförmige Umlaufbahn stabil ist.

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Hier wird der Ansatz ausführlich diskutiert:

Die radiale Komponente der Zentralkraft$\bf F$wird von gegeben

$$\mathbf F\cdot \mathbf e_\mathrm r~=~ m\left[\ddot r - r(\dot \theta)^2\right]\;.\tag 1$$

Aufgrund der kleinen Störung verändert sich der Radius der Kreisbahn ab$r_0$Zu$r(t) ~=~r_0 + \rho(t)~~_; ~~~\rho(0)\ll r_0\;.$

Verwenden$\mathit l= mr^2\dot \theta=\textrm{const}$,$(1)$wird

$$\ddot\rho(t)- \frac{l^2}{m^2(r_0+ \rho(t))^3}~=~ \frac{F_\mathrm r(r_0+ \rho(t))}{m}~\tag {1-a}$$

Jetzt,

$$\begin{align}(r_0+ \rho(t))^{-3}&=r_0^{-3}\left(1+ \frac{\rho}{r_0}\right)^{-3}\\ &\approx r_0^{-3}\left(1-3\frac{\rho}{r_0}\right)\\ F_\mathrm r(r_0+\rho)&= F_\mathrm r(r_0) +\frac{\mathrm dF_\mathrm r}{\mathrm dr}\bigg|_{r=r_0}~\rho+ \ldots \\ &\approx F_\mathrm r(r_0) +\frac{\mathrm dF_\mathrm r}{\mathrm dr}\bigg|_{r=r_0}~\rho\end{align}$$

So,

$$\ddot\rho- \frac{l^2}{m^2r_0^3}\left(1-3\frac{\rho}{r_0}\right)= \frac{F_\mathrm r(r_0)}m +\frac{\mathrm dF_\mathrm r}{\mathrm dr}\bigg|_{r=r_0}~\cdot \frac{\rho}m\tag{1-b}$$

Aus der Bahngleichung$^\ddagger$, wir bekommen

$$\mathit l^2=- mr_0^3 F_\mathrm r(r_0)_;$$

So,

$$\ddot \rho+ \left[\frac{3\mathit l^2}{m^2r_0^4}- \frac{1}{m}\frac{\mathrm dF_\mathrm r}{\mathrm dt}\bigg |_{r=r_o}\right]\rho~=~0\;.$$

Dies kann geschrieben werden als

$$\ddot \rho + \omega^2 \rho ~=~0\;.\tag 2$$

Dies ist nun eine Differentialgleichung zweiter Ordnung für einen einfachen harmonischen Oszillator mit Frequenz$\omega\;,$Wo

$$\omega^2 ~=~ \frac{3\mathit l^2}{m^2r_0^4}- \frac{1}{m}\frac{\mathrm dF_\mathrm r}{\mathrm dt}\bigg |_{r=r_o}\;.$$

Sofern die Kreisbahn nicht instabil ist, entsteht eine einfache harmonische Radialschwingung$r=r_0$würde folgen (dh SHM würde auftreten, wenn$\omega^2\gt 0\;.$)

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$\ddagger$Daraus würden wir die Bahngleichung ableiten$(1)$ausdrücken$r$und seine Derivate in Bezug auf$\theta\;.$

$$\begin{align}\dot r &= \frac{\mathrm dr}{\mathrm d\theta}\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dt}\\ \ddot r&=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\mathrm dr}{\mathrm d\theta}\dot \theta\right)\\&=\frac{\mathrm d^2r}{\mathrm d\theta^2}~\dot\theta ^2 + \frac{\mathrm dr}{\mathrm d\theta}~\ddot \theta \end{align}$$

Lassen

$$\mathbf H \stackrel{\text{def}}{=} \mathbf r\times \dot{\mathbf r} =\frac{\mathbf L}m \;.$$

Deshalb

$$\begin{align}\dot \theta &= \frac{|\mathbf H|}{r^2}\\ \implies \ddot \theta &=-\frac{2|\mathbf H|}{r^3} \, \dot r\;.\end{align}$$

All dies eintragen$(1),$wir bekommen

$$\begin{align}\frac{\mathrm d^2r}{\mathrm d\theta^2}~\dot\theta ^2 + \frac{\mathrm dr}{\mathrm d\theta}~\ddot \theta- r(\dot \theta)^2& = \frac{F_\mathrm r}{m} \\ \implies\frac{\mathrm d^2r}{\mathrm d\theta^2}~\left(\frac{|\mathbf H|}{r^2}\right)^2 +\frac{\mathrm dr}{\mathrm d\theta}~\left(-\frac{2|\mathbf H|}{r^3}\dot r\right) - r ~\left(\frac{|\mathbf H|}{r^2}\right)^2 &= \frac{F_\mathrm r}{m}\\ \implies \left(\frac{|\mathbf H|}{r^2}\right)^2\left[\frac{\mathrm d^2r}{\mathrm d\theta^2} - 2\frac{\left(\frac{\mathrm dr}{\mathrm d\theta}\right)^2}{r}-r\right]&=\frac{\mathrm F(r)}{m}\\ \implies \frac{\mathrm d^2r}{\mathrm d\theta^2} - 2\frac{\left(\frac{\mathrm dr}{\mathrm d\theta}\right)^2}{r}-r&= \frac{r^4 F_\mathrm r}{|\mathbf H|^2 m}\;.\tag{i}\end{align}$$

$(\rm i)$ist die Orbitalgleichung .

Wenden Sie nun die Tatsachen an, dass für kreisförmige Umlaufbahnen$\dot r,~\ddot r~=~0\,,$wir erhalten den Wert von

$$|\mathbf H|~=~\sqrt{ -\frac{r^3F_\mathrm r}{m}}\;,$$ Wo $r~=~r_0\;.$

Möglicherweise haben Sie die Frage leicht falsch interpretiert. Die Frage bedeutet, dass eine augenblickliche Störung einer kreisförmigen Umlaufbahn (ein Impuls – Impulsstoß – zum Beispiel) eine elliptische Umlaufbahn ergibt. Ihr zweiter Ansatz impliziert, dass Sie der Ellipse eine einfache harmonische Bewegung hinzufügen oder dass Sie möglicherweise eine zeitabhängige externe SHM-Kraft auf das Teilchen anwenden, und keiner dieser Fälle führt unbedingt zu einer elliptischen Umlaufbahn.

In der klassischen Mechanik ist der beste Weg, dieses Problem zu lösen, die effektive Potentialmethode. Ein Massenobjekt$m$und in einem augenblicklichen Radius$r$mit Drehimpuls umkreist$J$verhält sich so, als gäbe es neben dem attraktiven Potenzial noch ein weiteres Potenzial

$$V_{\mbox{eff}}= \frac{J^2}{2mr^2}$$ Jetzt $J$ist eine Konstante der Bewegung (Drehimpulserhaltung. Dann ist die Summe von diesem und dem $-\frac{GmM}{r}$Das Gravitationspotential ergibt ein Gesamt-"Potential" für die radiale Bewegung, das in der Nähe bis ins Unendliche ansteigt $r=0$, geht für groß von unten gegen Null $r$und hat bei einem bestimmten Radius ein Minimum $r_0$. Die Winkelbewegung kann berechnet werden, sobald Sie die radiale Bewegung kennen $$\dot{\phi} = \frac{J}{mr^2}$$

Eine kreisförmige Umlaufbahn beginnt und bleibt für immer bei$r=r_0, \dot{r} = 0$. Wenn Sie stattdessen bei beginnen$r = r_0, \dot{r} \neq 0$Sie erhalten eine Oszillationsbewegung$r$, und damit eine nicht kreisförmige Umlaufbahn.

Aber das ist keineswegs dasselbe wie zu beweisen, dass die Umlaufbahn eine Ellipse ist. Tatsächlich ist der Grund, warum die Umlaufbahn eine geschlossene Kurve ist, dass die$1/r$Form des Potentials ergibt eine Schwingungsperiode, die genau der Winkelperiode entspricht. Somit gibt es beim 2-Körper-Problem in der klassischen Gravitation kein Vorrücken des Perihels.

Wenn das Potenzial wäre, sagen wir,$r^{-1.1}$die Umlaufbahnen wären nicht elliptisch. Und tatsächlich folgt in der Allgemeinen Relativitätstheorie ein Körper, der in einer Schartzchild-Metrik umkreist, keiner elliptischen Umlaufbahn. Aber die Umlaufbahn für jede Winkelperiode ist sehr, sehr nahe an einer Ellipse, und wenn Sie jede Umlaufbahn als Ellipse betrachten, dann erhalten Sie den kleinen Fortschritt im Perihel, weil es keine exakte Übereinstimmung in Radial- und Winkelperioden gibt.