Beeinflusst die Masse die Geschwindigkeit der Umlaufbahn in einer bestimmten Entfernung?

In der Grenze wo$m_2 \ll m_1$, zählt nur die Masse des schweren Körpers (natürlich zusammen mit der großen Halbachse der Umlaufbahn).

Wo diese Grenze nicht gilt, ändert die Variation der Masse eines der beiden Körper die reduzierte Masse:

Da sich das System so verhält, als ob sich ein vernachlässigbar massives Objekt im Feld eines mit der Gesamtmasse bewegen würde, ändert dies die Periode.

Beachten Sie, dass in der obigen Grenze die Gesamtmasse ungefähr ist$m_1$und wir stellen das erwartete Verhalten wieder her.

Marion und Thorton geben dem Zeitraum den vollen Ausdruck$\tau$in der Form

Wo$a$ist die Länge der großen Halbachse der Umlaufbahn und$G$ist die Gravitationskonstante. Es sollte offensichtlich sein, dass sich dies im Grenzbereich einer schweren Grundfarbe auf reduziert$\tau^2 = \frac{4 \pi}{G} \frac{a^3}{m_1}$.

Nebenbemerkung: Die Regel, an die Sie sich erinnern, ist diejenige, die Kepler für Planeten in unserem Sonnensystem gefunden hat. Dabei dominiert in jedem Fall die Masse der Sonne. Jupiter hat etwa 0,001 Sonnenmassen, also die größte Korrektur auf Zehntel-Prozent-Niveau. Beobachtbar, aber überhaupt nicht groß.

Wie die Antwort von @dmckee sagt, hat die Masse des Planeten an der Grenze, an der die Masse des Planeten viel geringer ist als die Masse des Sterns, keinen signifikanten Einfluss auf die Periode. Ich möchte nur einen expliziteren Kommentar zu diesem Teil Ihrer Frage hinzufügen:

Ich habe einen Planeten in der iPhone Exoplanet App gesehen, der näher an seinem Stern ist als ein Planet in einem anderen System, aber länger braucht, um eine Umlaufbahn zu absolvieren.

Der Grund dafür sind mit ziemlicher Sicherheit nicht die Massen der Planeten, sondern die Massen der beiden Sterne. Die Systeme, die Sie sich in der App ansehen, erfüllen mit ziemlicher Sicherheit die Regel$m_{\rm planet}\ll m_{\rm star}$, so dass die Masse des Planeten unwichtig ist. Sie sagen, dass die Massen der Sterne "ähnlich" sind, aber ich wette, sie sind so unterschiedlich, dass das die Erklärung für das ist, was Sie sehen.

Eine Möglichkeit, Keplers drittes Gesetz zu schreiben, wie es für Planeten gilt, die andere Sterne umkreisen, ist

Gibt Ihnen die App konkrete Informationen zu den Zahlenwerten der verschiedenen Größen? Wenn ja, könntest du das überprüfen. Wenn nein, sind Sie sich Ihrer Aussage sicher, dass die Massen "ähnlich" sind?

Sie können sich das immer so vorstellen: Beginnen Sie mit einem Planeten der Masse m , der den Stern mit einer bestimmten Geschwindigkeit umkreist. Fügen Sie nun einen 2. Planeten der Masse m in der gleichen Umlaufbahn hinzu. Gleiche Geschwindigkeit, oder? Lassen Sie sie sich jetzt in der Umlaufbahn berühren. Gleiche Geschwindigkeit, oder? Jetzt Punktschweißen sie zusammen. Sie haben einen einzelnen Planeten mit einer Masse von 2 m . Gleiche Geschwindigkeit.

Grob gesagt, wenn Sie die Schwerkraft gleich der Zentripetalkraft machen (was für stationäre, sich gut verhaltende Umlaufbahnen gilt),$\frac{MmG}{r^2}=\frac{mv^2}{r}$, und so$\frac{MG}{r}=v^2=\frac{4 \pi^2r^2}{T^2}$, die Keplers 3. Gesetz enthält.

Nehmen Sie zum Beispiel die Erde und Satelliten. Die Masse der Erde beeinflusst die Satellitenumlaufbahn, die Masse des Satelliten selbst jedoch nicht.

Darüber hinaus muss ein solches System eine Satellitenmasse haben, die weit unter der der Erde liegt.

Auf diese Weise kann die Gravitation zwischen Satelliten vernachlässigt werden.

Wenn die Anziehungskraft zwischen Satelliten sehr groß ist, wird das Erdsatellitensystem nicht stabil sein.