Konservative Zentralkraft und stabile Bahnen

Nicht jede Zentralkraft lässt eine Kreisbahn zu, da nur eine anziehende Wechselwirkung den abstoßenden zentrifugalen Term ausgleichen kann. Andererseits hat jede anziehende Kraft eine kreisförmige Bahn, da durch geeignete Wahl des Drehimpulses der Zentrifugalterm$L^2/2\mu r^2$, kann gewählt werden, um die attraktive Interaktion abzubrechen,$U(r)$. Schließlich ist attraktives Potential nicht ausreichend für die Existenz stabiler Umlaufbahnen.

Die Kreisbahn des Radius$r_0$ist genau dann stabil, wenn$U_{\mathrm{eff}}(r_0)$entspricht einem Minimum des effektiven Potentials,

$$U_{\mathrm{eff}}(r)=\frac{L^2}{2\mu r^2}+U(r).$$ Dies impliziert, dass die zweite Ableitung von $U_{\mathrm{eff}}$bei $r_0$muss positiv sein. Somit, $$U''(r_0)>-\frac{3L^2}{\mu r_0^4}.\tag1$$

Bei kreisförmigen Bahnen verschwindet die radial wirksame Kraft (die Wechselwirkungs- und Zentrifugalkräfte enthält) und dann$U_{\mathrm{eff}}(r_0)'=0$. Daher

$$r_0^3=\frac{L^2}{\mu U'(r_0)}.$$ Wenn wir dies in Gleichung (1) einsetzen, erhalten wir die folgende Bedingung $$\frac{U''(r_0)}{U'(r_0)}+\frac{3}{r_0}>0,$$ für stabile Bahnen. Nehmen wir als Beispiel ein attraktives Potential mit einem Potenzgesetz an $U=kr^{n}$, die letzte Gleichung gibt uns, dass es nur stabile Bahnen für hat $n>-2$.

Es ist erwähnenswert, dass es verschiedene Stabilitätskonzepte in Bezug auf die Orbitalbewegung gibt. Die hier angenommene, für die das obige Ergebnis gilt, besagt, dass eine Kreisbahn stabil ist, wenn sie unter kleinen Störungen begrenzt bleibt (eine begrenzte Bahn ist eine, deren Radius begrenzt ist durch$r_{\mathrm{min}}\leq r\leq r_{\mathrm{max}}$). Ein anderes und ebenfalls gängiges Konzept ist die Lyapunov-Stabilität. In diesem Fall liefert unter allen Potenzgesetz-Zentralkräften nur der harmonische Oszillator stabile Bahnen .

Dies wird keine strenge Behandlung sein, aber Sie können sich eine Vorstellung davon machen, was vor sich geht, indem Sie das effektive Potenzial des umlaufenden Körpers berücksichtigen. Betrachten wir einen mit dem Körper mitrotierenden Rahmen, dann gibt es in diesem Rahmen eine fiktive Zentrifugalkraft, die den Körper nach außen drückt, und dieser Kraft ist ein Potential zugeordnet$L^2/2mr^2$wo$L$ist der (konstante) Drehimpuls. Addieren Sie dies zum Gravitationspotential$U(r)$gibt ein wirksames Potenzial:

$$V_\text{eff} = \frac{L^2}{2mr^2} + U(r)$$

Wenn wir nehmen$U(r) = -k/r$dann erhalten wir ein effektives Potenzial, das in etwa so aussieht:

Wenn es sich um eine gebundene Umlaufbahn handelt, hat dieses Potential immer ein Minimum. Dies liegt daran, dass wenn sich das umkreisende Objekt der zentralen Masse nähert, das Positive$r^{-2}$Begriff dominiert und drängt ihn wieder heraus, während sich das Objekt zu groß bewegt$r$das negative$r^{-1}$Begriff zieht es wieder hinein. Effektiv oszilliert das Teilchen um das Minimum des effektiven Potentials, so dass seine Umlaufbahn immer stabil ist.

Das Problem ist, dass wir bei unterschiedlichen Gravitationspotentialen dieses stabile Minimum nicht erhalten. Zum Beispiel wenn$U(r) = -kr^{-2}$das effektive Potenzial ist gerecht$\pm Ar^{-2}$für einige konstant$A$. Mit dem Pluszeichen drückt das Potential das umkreisende Objekt immer nach außen bis ins Unendliche und mit dem Minuszeichen zieht es das Potential nach innen, um gegen den Zentralkörper zu prallen.

Ziehen nach$U(r) = -kr^{-3}$, oder irgendein$-kr^{-n}$zum$n \ge 3$, und jetzt erhalten wir nur ein Maximum wie:

Also wiederum schickt jede Störung das umkreisende Objekt nach außen ins Unendliche oder nach innen, um mit dem Objekt zu kollidieren.

Die Besonderheit der$-kr^{-1}$Potenzial ist, dass es mit der Entfernung langsamer abfällt als die$r^{-2}$Potenzial aufgrund der fiktiven Kraft. Deshalb gibt es nur eine stabile Umlaufbahn. Wenn Sie nicht ganzzahlige Potenzen zulassen, dann irgendwelche$n \lt 2$gibt auch eine stabile Umlaufbahn, obwohl wir normalerweise nur ganzzahlige Werte von berücksichtigen$n$.