Ich studiere Klassische Mechanik zu Arnolds „Mathematischen Methoden der Klassischen Mechanik“. Bei einem Problem werde ich gebeten, wofür zu finden die kreisförmigen Bahnen im zentralen Feldproblem sind stabil mit dem Potential in der Form Lyapunov
Lassen Sie mich radiale Stabilität die Stabilität von nennen um , Wo ist der Radius der Kreisbahn. Der Unterschied zwischen dieser und der Lyapunov-Stabilität besteht darin, dass letztere nicht nur zuschaut sondern auch zum Polarwinkel (für eine zentrale Kraft) und ihre konjugierten Impulse. In diesem Sinne würde ich also sagen, dass Lyapunov stärker ist.
Im Grunde eine Umlaufbahn auf dem Phasenraum ist Lyapunov stabil, wenn er beliebig nahe an der Umlaufbahn bleibt (die Kreisbahn), solange wir die Anfangsbedingungen beider Fälle willkürlich nahe bringen. Wenn wir nun dieses Lyapunov-Kriterium nur auf die radiale Koordinate beschränken, dann stimmt es mit den radialen Stabilitätskriterien überein.
Ich werde das von Arnold behauptete Ergebnis nicht beweisen, aber ich kann Ihnen etwas Intuition geben. Betrachten Sie zum Beispiel die attraktive inverse quadratische Kraft, deren Potenzial ist . Eine gestörte (um die kreisförmige) Umlaufbahn ist eine Ellipse. Nach Keplers drittem Gesetz haben wir, dass die Periode dieser gestörten Umlaufbahn ist
Betrachten Sie nun einen isotropen harmonischen Oszillator, . Die Umlaufbahn kann durch Überlagerung zweier harmonischer Bewegungen mit gleicher Frequenz erhalten werden, die orthogonal auf der Ebene angeordnet sind. Da die Periode jeder harmonischen Bewegung amplitudenunabhängig ist, ist auch die Periode des isotropen Oszillators amplitudenunabhängig. Der Unterschied ist also konstant und kann durch Wahl beliebig enger Anfangsbedingungen beliebig klein gemacht werden. Der isotrope Oszillator ist Lyapunov-stabil.
Ich denke, ein Beweis für Arnolds Behauptung wäre, attraktive und radial stabile Potenzgesetzpotentiale vorzuschlagen, , , und zeige das dann nur für die Periode der gestörten Bahn ist gleich der Periode der Kreisbahn.
Jerry Schirmer