Bedeutung periodischer Umlaufbahnen

Bei der Untersuchung dynamischer Systeme spricht man oft von Lösungen, die sich nach einer gewissen Zeit wiederholen, daher der Name „ periodische Bahnen “. Dann geht man zur Unterscheidung von „stabilen“ (zB ein harmonisches 2D-Pendel) oder „ instabilen “ periodischen Bahnen über.

Erste Frage:

  • Weisen alle dynamischen Systeme (integrierbar oder nicht) stabile und instabile periodische Umlaufbahnen auf und wenn ja, warum sind periodische Umlaufbahnen allen Systemen inhärent? (z. B. weist das nicht-chaotische einfache 2D-Pendel jemals instabile periodische Umlaufbahnen auf?)

Zweite Frage:

  • Warum wird beim Studium dynamischer Systeme (nämlich auch chaotischer ) so viel Wert auf das Studium periodischer Bahnen (Lösungen) eines Systems (sei es stabil oder instabil) anstelle der anderen Arten von Lösungen, die gefunden werden können ( zB jede geschlossene Umlaufbahn, die nicht periodisch ist, oder andere Arten)?

Antworten (1)

1. Frage:

Ja, alle Systeme haben Bereiche mit periodischer (oder fast periodischer oder isolierter periodischer ) Bewegung. Für integrierbare Systeme wird dies erwartet. Aber tatsächlich ist die Existenz isolierter periodischer Lösungen auch eine Form der Nicht-Integrierbarkeit (bezieht sich auch auf die 2. Frage). Die genaue Bedeutung der isolierten periodischen Lösung finden Sie unter dem obigen Link zur Integrierbarkeit.

In Anbetracht der Stabilität können ja alle Systeme (integrierbar oder nicht) stabile oder instabile periodische Lösungen haben, natürlich ist dies für nichtlineare chaotische Systeme die Norm.

Das einfache, nicht chaotische 2D-Pendel weist keine instabilen periodischen Umlaufbahnen auf (es weist jedoch instabile Gleichgewichtspunkte auf).

2. Frage:

Vielleicht möchten Sie die KAM-Theorie überprüfen , die einfach besagt, dass ein nicht integrierbares System, das einem integrierbaren System nahe kommt, Bereiche hat, in denen die Umlaufbahnen aufrechterhalten werden (oder mit anderen Worten, jede ausreichend kleine Störung, die von einem integrierbaren System entfernt ist, sein kann untersucht von der KAM-Theorie unter Verwendung der periodischen Umlaufbahnen oder invarianten Tori im Phasenraum)

AKTUALISIEREN:

Stabile periodische Lösungen (gemäß den fraglichen Links) sind periodische Lösungen, die dynamisch stabil sind, mit anderen Worten, wenn die Umlaufbahn leicht gestört wird, bleibt sie nahe am Original.

Instabile periodische Lösungen sind solche periodischen Lösungen, die im vorigen Sinne nicht stabil sind.

Isolierte periodische Lösungen sind spezielle Arten von Lösungen, die sich auf Tests auf Nichtintegrierbarkeit für einige Spezialfälle von Hamiltonoperatoren beziehen

Nahezu periodische Lösungen sind Lösungen, die im Sinne der Wahrscheinlichkeit periodisch sind. Das heißt, das System kehrt zu bestimmten Zeiten nicht genau zum selben Punkt zurück, sondern mit Wahrscheinlichkeit 1 in dessen Nähe.

Ein weiterer Link zum (Messen) von Chaos in Hamiltonschen Systemen http://www.staff.science.uu.nl/~verhu101/SAMOSpap.pdf

Beachten Sie jedoch, dass die einzigen zentralen Kräfte der Form F = − k R N die stabile Umlaufbahnen haben, sind diejenigen, die haben N = 1 oder − 2
@ user929304, gemäß dem Link ist die isolierte periodische Bewegung ein Test der Nicht-Integrierbarkeit (für einige Hamilton-Systeme)
@ user929304, die Tests oder Definition von Chaos beziehen sich auf Laypunov-Exponenten (die sich selbst auf instabile periodische Lösungen beziehen), die isolierten periodischen Lösungen in der Antwort beziehen sich auf Tests der Nichtintegrierbarkeit. Fragen Sie nach der Verbindung zwischen chaotischen Systemen und Nicht- integrierbare Systeme?
@ user929304: Eine ordnungsgemäße Ableitung dieses Ergebnisses ist ein ganzes Kapitel des klassischen Mechanikbuchs von Landau / Lifschitz. Bei Interesse verweise ich dort hin. Und wirklich, wer solche Fragen interessiert, sollte das Landau/Lifschitz-Buch schon haben.
@ user929304, ich bin mir nicht sicher, Billard sind Hauptbeispiele für ergodische Systeme, die ein komplexes Verhalten aufweisen können (aber auch einfachere Umlaufbahnen enthalten). Ich müsste gründlicher nachsehen, ob ich die Frage aktualisieren kann, um etw klarer zu machen ( nach meinem Verständnis) kann ich das tun
@ user929304, wenn Sie eine grobe Schätzung (aus den Abbildungen) über die 8 elliptischen Billard benötigen, würde ich sagen, dass die ersten 2 eine fast periodische Bewegung aufweisen, die stabilen periodischen Lösungen sind diejenigen mit polygonalen Umschlägen, Nummer 4 ist instabil
@ user929304, 1) Nun ja, man kann sagen, dass in gewissem Sinne 2) eine Poincare-Karte ein Stück des Phasenraums für bestimmte Werte von Parametern ist (um die Umlaufbahnen in komplexen Systemen gewissermaßen zu visualisieren), keine Ellipsen entsprechen nicht quasi-periodischen Bahnen (Ellipsen sind nur deformierte Kreise), eine Kurve in einer Poincaré-Karte entspricht einer stabilen Bahn, chaotische Regionen erscheinen als dichte Punkte (Zitat „Wenn der Anfangspunkt innerhalb einer elliptischen Insel liegt, ist seine Flugbahn eingeschränkt auf einer 1-d-Kurve ") etc..
@ user929304, nun, diese Beobachtungen sind grob und allgemein, man kann nicht alle Muster und Feinheiten (die möglicherweise umfangreiche Berechnungen erfordern) in einer Frage oder einem Kommentar erklären, vielleicht erhält man einige Referenzen zur nichtlinearen Dynamik (das Landau / Lipshitz-Buch ist ein gute Einführung, es gibt natürlich andere spezifischere), hoffe, das ist hilfreich
„Ja, alle Systeme haben Bereiche mit periodischer (oder fast periodischer oder isolierter periodischer) Bewegung.“ Nicht wahr – wie viele periodische Umlaufbahnen (oder fast periodische Umlaufbahnen usw.) X ˙ = 1 haben?
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