Warum sind wir sicher, dass Bewegungsintegrale in einem chaotischen System nicht existieren?

Das Stadionbillard ist bekanntlich ein chaotisches System. Das bedeutet, dass das einzige Integral der Bewegung (Größe, die entlang einer beliebigen Bewegungsbahn erhalten bleibt) die Energie ist E = ( p x 2 + p j 2 ) / 2 m .

Warum sind wir sicher, dass kein anderer, unabhängiger auf E , gibt es in diesem System Bewegungsintegrale? Man kann die Existenz einer vielleicht unendlich komplizierten Funktion annehmen ich ( x , j , p x , p j ) , die konserviert und unabhängig von ist p x 2 + p j 2 . Warum ist diese Annahme falsch?

Mit anderen Worten: Die einfachsten prototypischen Beispiele integrierbarer Billards (rechteckig, kreisförmig, elliptisch) haben einige offensichtliche Symmetrien, die es uns ermöglichen, zwei unabhängige Bewegungsintegrale zu finden. Was ist, wenn in einem anderen Billard solche Integrale auch existieren, aber nicht so offensichtlich sind und keine einfache analytische Form haben? Wie können wir zwei Situationen unterscheiden:

  1. es gibt zwei unabhängige Bewegungsintegrale, also ist das System integrierbar, aber ihre Form ist sehr kompliziert,

  2. das einzige Bewegungsintegral ist E und andere unabhängige Integrale fehlen?

Ich bin kein Spezialist für dynamische Systeme und damit verbundene komplizierte Mathematik, daher werden einfache Erklärungen geschätzt. Ich habe die verwandten Fragen Idee integrierbarer Systeme und Nicht-Integrierbarkeit des 2D-Doppelpendels gefunden , aber keine einfache Antwort erhalten.

Integrierbarkeit erfordert "glatte" Kontinuität innerhalb eines gegebenen Intervalls. Chaotische Bewegung ist abrupt und sogar diskontinuierlich, daher nicht integrierbar - es sei denn, Sie interessieren sich nur für einen Teil der Gesamtbewegung, bei dem die Anforderungen für die Integrierbarkeit erfüllt sind.
@AlexeySokolik hast du überhaupt eine Antwort auf deine Frage selbst gefunden?
@LoScrondo Nein, ich habe noch keine Antwort erhalten, die für mich klar wäre. Ich habe für mich eine vorläufige Schlussfolgerung gezogen, dass es keine scharfe Unterscheidung zwischen Existenz und Nichtexistenz von (vielleicht willkürlich komplizierten) Bewegungsintegralen geben kann, ebenso wie integrierbare und chaotische Systeme nicht immer eindeutig aufgelöst werden können, wie die KAM-Theorie sagt.
Ok, also wage ich es, meinen Senf hinzuzufügen ... 1) Anstatt über die Zulässigkeit jeglicher Symmetrie zu spekulieren, die zu einem Bewegungsintegral (IoM) jeglicher Form führen könnte, ist das, was üblicherweise getan wird, eher empirisch, z. B. demonstrieren Existenz eines polynomischen/algebraischen/transzendentalen IoM in einem spezifischen System...2) Auch wenn das von Vittorio Moretti zitierte (und von einigen anderen Autoren wiederholte) Argument schlüssig erscheint, sind in den Originalwerken von Poincaré (und anderen Autoren) höchst unregelmäßig ( zB diskontinuierlich) IoM werden berücksichtigt - und sind nicht durch die früheren Konten abgedeckt. Also AFAIK die Frage ist offen
verwandt: nützliche Terminologie hier physical.stackexchange.com/q/55861/226902 . Wiki für dynamisches Billard: en.wikipedia.org/wiki/Dynamical_billiards "Billard mit positiven Lyapunov-Exponenten brauchten konvexe Streuungen, wie die Scheibe im Sinai-Billard, um die exponentielle Divergenz der Umlaufbahnen zu erzeugen. Bunimovich zeigte dies, indem er die Umlaufbahnen über den Brennpunkt einer konkaven Region hinaus war es möglich, eine exponentielle Divergenz zu erhalten.“

Antworten (5)

Ich denke, man muss zwischen chaotischen "Hamiltonschen" Systemen und chaotischen dissipativen Systemen unterscheiden. In letzterem bleibt das Phasenraumvolumen nicht erhalten, daher ist es viel schwieriger, "Bewegungsintegrale" zu finden, da der Satz von Liouville gebrochen ist. Denken Sie daran, dass eine Größe "A" ein Bewegungsintegral ist, wenn

d EIN d t = ∂ EIN ∂ t + { EIN , H } = 0 , wo H ist der Hamiltonoperator. Für dissipative chaotische Systeme können Sie nicht einmal aufschreiben H , daher ist es schwierig zu sehen, wie man allgemein Integrale / Bewegungskonstanten des Systems finden könnte.

Es gibt jedoch eine wichtige Klasse von Systemen, die in der Kosmologie zum Beispiel auftauchen, wo es ein Hamiltonsches "Chaos" gibt, wo im Wesentlichen die Trajektorien des Systems alle Eigenschaften des Chaos aufweisen: empfindliche Abhängigkeit von Anfangsbedingungen, divergierende Trajektorien im Laufe der Zeit, aber das System hat immer noch Attraktoren: Ein berühmtes Beispiel ist die Dynamik eines geschlossenen anisotropen Universums / Bianchi IX, in schamloser Eigenwerbung hier: https://arxiv.org/pdf/1311.0389.pdf (insbesondere siehe Seite 27 ) Dies hat natürlich jahrelang zu breiten Debatten in der Kosmologie-Community darüber geführt, ob dies "wirklich" Chaos ist, da die Flugbahnen im Prinzip vorhersehbar sind, aber ich hoffe, dies beantwortet Ihre Frage.

Außerdem ist Ihr Billardproblem / das berühmte Hadamard-Billard, wie Sie sehen können, dasselbe wie das Diagramm auf Seite 27. Daher ist das Billardproblem auch ein Beispiel für Hamiltonsches / deterministisches / nicht-dissipatives Chaos. Der Phasenraum hat einen asymptotischen Attraktor. Dies zeigt hoffentlich, dass Bewegungsintegrale wie das oben gefundene ( E ist die Gesamtenergie des Systems und in diesem Fall der Hamilton-Operator, H ) sind nur dann wirklich möglich, wenn man einen Hamiltonoperator nach dem Satz von Liouville aufschreiben kann.

Sp. gibt es einen Zusammenhang zwischen Attraktoren im Phasenraum und der Existenz von Bewegungsintegralen? Und wie sieht aus dieser Sicht der Unterschied zwischen a) integrierbarem System mit einem sehr komplizierten Bewegungsintegral und b) chaotischem System ohne es aus?
Ja, das kann man sagen. Sie können nur ein Hamiltonsches System haben, wenn Sie keine Attraktoren / asymptotische Stabilität haben.
Ich fürchte, ich habe nicht genug Wissen, um es vollständig zu verstehen. Wie funktioniert das beim Stadion-Billard? Wie sieht sein Attraktor aus und warum hat z. B. rechteckiges Billard nicht die gleiche Eigenschaft?

Ich bin kein Experte für diese Themen, aber wenn ein weiteres Integral existieren würde, wäre die Umlaufbahn in einer eingebetteten Untermannigfaltigkeit von Codimesion-1 beschränkt (für fast alle möglichen Werte dieser Funktion aufgrund des Satzes von Sard). Eine eingebettete Untermannigfaltigkeit ist eine sehr regelmäßige Untermenge, sie kann keine Selbstüberschneidungen haben und zum Beispiel nicht dicht im Raum sein. Stattdessen scheint die Umlaufbahn eines chaotischen Systems nicht zu einer solchen regelmäßigen Menge zu gehören ... Aber ohne genaue Definition bleibt das alles nur ein Vorschlag ...

Nach 4 Jahren nach Details zu fragen, hat wahrscheinlich nicht viel Sinn ... auch wenn Ihre Beobachtung suggestiv ist, ist sie für mich immer noch nicht schlüssig - könnte ich Sie also fragen, ob die Bedingungen, die Sie beispielhaft dargestellt haben (eine eingebettete Untermannigfaltigkeit kann nicht dicht sein) sind absolut?
Ein erstes Integral ist eine Abbildung ich : M → R wo M ist der Phasenraum. Der Satz von Sard besagt, dass für fast alle Werte von ich es hält d ich ≠ 0 . Das Urbild jedes dieser Werte ist daher eine eingebettete Untermannigfaltigkeit der Kodimension 1 als Folge des Satzes von regulären Werten. Eine eingebettete Untermannigfaltigkeit der Kodimension 1 kann nicht dicht sein: Um jeden Punkt herum scheint es eine n-1-Ebene zu sein R n . Allerdings bin ich kein Experte in diesen Fragen...

Das Bunimovich-Stadion ist bekannt dafür, ergodisch zu sein. Hier ist eine schöne Beschreibung von Terry Tao . Dieser Begriff erstreckt sich natürlich auf das Quanten- (oder Wellen-) Chaos, wo statt der Trajektorien, die asymptotisch gleichmäßig verteilt sind, die Knotendomänen der Eigenfunktionen asymptotisch gleichmäßig sind. Das neue Buch von Steve Zelditch „Eigenfunctions of the Laplaceian on a Riemannian mannigfaltigkeit“ ist ein gründlicher technischer Blick auf diese Probleme für den Quanten/Wellen-Fall. Kostenloses pdf hier

Das Vorhandensein von Narben (asymptotische Konzentrationen im Phasenraum) ist ein Spiegelbild instabiler periodischer Trajektorien. Wenn es keine Konzentrationen gibt, heißt das System eindeutig ergodisch.

Integrierbarkeit erfordert nicht nur N Bewegungskonstanten, sondern auch, dass die Konstanten in Involution zueinander stehen. Das bedeutet, dass die Poisson-Klammer jedes Paares Null ist. Übrigens gibt es einen Unterschied zwischen Bewegungskonstanten und Bewegungsintegralen. Bewegungsintegrale umfassen eine Teilmenge der Bewegungskonstanten. Hier ist ein Hinweis auf Ergodizität vs. Integrierbarkeit.

Der Begriff Chaos wird verwendet, um verschiedene Dinge in verschiedenen Kontexten zu bedeuten. Neben dem Verteilen von Trajektorien braucht man Mischen, um klassisches Chaos zu bekommen. Daher finden Sie ausführliche Diskussionen zu diesen Themen in Büchern über die Riemannsche Geometrie, da das Mischen normalerweise von der Grenzkrümmung herrührt. Mein Favorit ist A Panoramic View of Riemannian Geometry von Marcel Berger . Berger hat eine ausführliche Diskussion über Stadion-Billard.

  1. Einerseits wird ein positiver maximaler Lyapunov-Exponent (MLE) oft als De-facto-Definition von (deterministischem) Chaos angesehen . (Beachten Sie, dass Chaos auch topologisches Mischen erfordert .)

  2. Andererseits zeigte Poincare, dass ein autonomes Liouville-integrierbares Hamiltonsches System entlang periodischer Bahnen nur null Lyapunov-Exponenten hat, vgl. zB meine Phys.SE-Antwort hier . (Wenn die Level-Sets kompakt sind, dann ist jede Umlaufbahn periodisch, vgl. das Liouville-Arnold-Theorem . Für Details siehe zB meine Phys.SE-Antwort hier .)

Dies hängt in gewisser Weise vom System ab. Dennoch können integrierbare Domänen existieren. Die Logistikkarte x n + 1   =   r x n ( 1   −   x n ) hat für den Parameter r Zonen der Stabilität. Das Bild

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

veranschaulicht Bifurkationsregionen mit regulärer Dynamik. Dies sind Inseln, die in diese Region der „Narbenbildung“ mit chaotischer Dynamik eingebettet sind.

Ja, ich habe von Stabilitätsregionen gehört, aber wie kann man sie in Form von Bewegungsintegralen beschreiben? Bedeutet dies, dass im Stadion-Billard ein Bewegungsintegral existiert, das nur auf einer Teilmenge von Trajektorien erhalten bleibt?
@AlexeySokolik zum Beispiel hat eine Hin- und Her-Trajektorie, die sich aus der Reflexion an Wänden senkrecht zur Geschwindigkeit ergibt, eine konservierte Impulskomponente von Null.
Nullkomponente? Ein Viervektor oder führen Sie eine seltsame C-Programmierung in die Physik ein?
@VladimirF nein, er meinte wörtlich, dass eine der Komponenten des Impulsvektors immer Null ist.
Warum sind wir sicher, dass Bewegungsintegrale in einem chaotischen System nicht existieren?
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