Poincaré-Flugzeug und Logistikkarte

Bei dynamischen Systemen im Allgemeinen simulieren Sie normalerweise die Dynamik in einem Computer – zum Beispiel durch numerische Integration von Differentialgleichungen oder Iteration einer Karte – und können dann Ihre Daten analysieren. Die in der Frage genannten Tools dienen primär der Visualisierung der Lösungen:

• ein Phasenporträt ist normalerweise die Darstellung einer oder mehrerer Trajektorien im Phasenraum des Systems (das sein Zustandsraum ist, dh ein Raum, in dem jeder Punkt einen anderen Systemzustand bezeichnet);
• ein Poincaré-Diagramm ist (für 1-D-Systeme) ein Diagramm von z. B.$x_{n+1}$gegen$x_n$, dh für eine Trajektorie$x_0, x_1, x_2, x_3, ...$das Poincaré-Diagramm wird 2-D mit Punkten sein$(x_0,x_1), (x_1,x_2), (x_2,x_3), ...$;
• Verwechseln Sie das Poincaré-Diagramm nicht mit der gleichnamigen Poincaré-Karte , die anhand eines Ausschnitts aus ihrem Phasenraum Trajektorien in einer geringeren Dimensionalität als der des Systems darstellt (Details siehe Antworten 1 und 2 , Wikipedia , .. .). Die logistische Karte ist 1-D, hat also einen 0-D-Poincaré-Abschnitt / eine 0-D-Poincaré-Karte - nicht so nützlich für Visualisierungszwecke.

Wie können wir die Poincare-Ebene und das Phasenporträt für verschiedene Parameterwerte in die logistische Karte zeichnen?

1. Wählen Sie den Wert des Parameters$r$;
2. Wählen Sie eine Anfangsbedingung für die Zustandsvariable$x$: das ist$x_{n=0}$;
3. erhalten$x_0$'s Flugbahn durch Iteration$x_{n+1}=rx_n(1-x_n)$.

Jetzt, mit dieser Trajektorie in Händen, können Sie Diagramme (per Hand oder Software) wie das Poincaré-Diagramm für erhalten$r=4$angezeigt im Wikipedia- Eintrag der Logistic Map :

Für einen anderen Parameterwert würden Sie ein anderes Diagramm erhalten. Ein 3D-Diagramm mit Achsen$r$,$x_{n+1}$, Und$x_n$wäre auch eine möglichkeit.

Das logistische Phasenportrait ist einfach ein Linienabschnitt,$x_n \in [0,1]$. Es kann zeigen, welche Teile davon dichter durch Trajektorien bevölkert sind, und ein 2-D-Diagramm davon$\{x_n\}$als Funktion des Parameters$r$wird als Bifurkationsdiagramm bezeichnet . Nochmal aus Wikipedia :

Ebenfalls erwähnenswert, zumindest für 1-D-Karten, ist das Cobweb-Plot , das im Wesentlichen eine grafische Darstellung des Iterationsprozesses ist, die sehr nützlich ist, um eine Intuition über den Prozess zu gewinnen. Wikipedia- Beispiele verwenden genau die logistische Karte: