Wann ist die Ergodenhypothese sinnvoll?

wenn das System nichtlinear ist, aber beispielsweise eine begrenzte Anzahl effektiver Freiheitsgrade hat$D=3,4,5$, ist die ergodische Hypothese gerechtfertigt?

Das ist im Wesentlichen eine mathematische Frage und leider scheint es außer denen der verschiedenen äquivalenten Definitionen von Ergodizität keine Bedingung zu geben. Konkrete Beispiele für Ergodizitätsbeweise finden sich in Lehrbüchern zur Ergodentheorie (Charles Walkdens Anmerkungen zur Ergodentheorie sind online verfügbar ( pdf1 , pdf2 )).

Betrachten Sie ein Hamiltonsches System. Unter welchen Umständen kann man davon ausgehen, dass alle zur Hyperfläche gehörenden Zustände$H=E_0$werden gleichermaßen besucht?

Wenn equal ein Schlüsselwort ist, würde ich sagen, dass Sie hier nach den Voraussetzungen für das Mischen fragen , und Sie können in dieser Antwort auf den Beitrag ein wenig über die Beziehung zur Ergodizität lesen. Gibt es notwendige und ausreichende Bedingungen für die Ergodizität? ? (obwohl die Stanford-Verbindung natürlich viel besser ist), und wiederum sind die Bedingungen einfach die ihrer Definition.

Ist eine sehr hohe Anzahl an Freiheitsgraden notwendig?

Nein. Aber wie die Arnold-Diffusion ( dieses Papier ( E-Print ) scheint eine schöne Einführung zu sein) zeigt, ist es sicherlich schwieriger, Trajektorien in Hamilton-Systemen mit mehr als 2 Freiheitsgraden zu enthalten.

Was ist mit dem Vorhandensein regelmäßiger Inseln, in die das chaotische Meer nicht eindringen kann? Schrumpfen sie wie$D$erhöht sich? Sind sie immer präsent?

Es gibt Systeme, die völlig chaotisch sind, also, nein, Inseln sind nicht immer vorhanden. Bei höherdimensionalen Systemen trennen die KAM - Oberflächen den Phasenraum nicht in verschiedene Regionen, wodurch Phänomene wie die oben erwähnte Arnold-Diffusion auftreten können. Man könnte also sagen, dass die regulären Regionen in höherdimensionalen Systemen weniger einflussreich werden.

Ich habe einen Simulationshintergrund, also ist das mehr Intuition als eine rigorose Ableitung.

Eine Möglichkeit, sich vorzustellen, ob die Erogizität gelten wird oder nicht, besteht darin, wenn man vernünftigerweise erwarten kann, dieselben Teile des Phasenraums unter Verwendung von Dynamik und unter Verwendung eines Monte-Carlo-Prozesses abzutasten. Das heißt, wenn ich die Partikel einfach zufällig neu anordne und dann Boltzmann ihren Beitrag zur Partitionsfunktion gewichte, wird mir dies in der langen Zeitgrenze die gleiche Antwort geben, als würde ich die Partikel zwingen, diese Konfigurationen über eine Art kontinuierlicher Dynamik zu besuchen?

Ein erfundenes Beispiel, an das Sie denken können, wenn dies nicht der Fall sein wird, ist ein eindimensionales System, bei dem sich ein Teilchen links und das andere rechts befindet. Wenn dies klassische Teilchen sind, werden sie sich immer durchtunneln, so dass der Gesamtmittelwert und der Zeitmittelwert einer Größe nicht gleich sind, da jedes Teilchen nur eine Teilmenge des gesamten verfügbaren Phasenraums abtastet.

Ein weiteres, physikalischeres Beispiel für Nicht-Ergodizität ist, wenn ein System einen Phasenübergang durchläuft. Betrachten Sie ein einfaches zweidimensionales Ising-Modell. Wenn die Temperatur gesenkt wird, hören schließlich die entropischen Beiträge auf zu dominieren und das System erfährt einen Phasenübergang, so dass es ganz nach oben oder ganz nach unten spinnt. Dies geschieht bei einer endlichen Temperatur. Bei Vorhandensein einer großen Anzahl von Spins wird es natürlich sehr lange dauern, bis alle diese Spins umkehren und es uns ermöglichen, den anderen Zweig des Phasenübergangs abzutasten. Somit wird der Ensemblemittelwert aus praktischen Gründen mehr vom Phasenraum abtasten als ein Zeitmittelwert, und dieses System ist nicht-ergodisch. Bei einer Temperatur von Null ist dies formal wahr, da man niemals den anderen Zweig des Phasenübergangs abtasten wird und das System wirklich nicht-ergodisch ist.

Um Ihre Frage basierend auf diesem letzten Beispiel direkter zu beantworten, ist die ergodische Hypothese sinnvoll, wenn es keine Diskontinuitäten im Phasenraum gibt, da diese häufig dazu führen, dass das System einen von verschiedenen möglichen Zweigen auswählen muss, von denen es äußerst unwahrscheinlich ist, dass das System wird in endlicher Zeit gehen.

Abgesehen davon tastet man in der Praxis ein System normalerweise in diskreten Schritten ab (dies gilt sowohl für Markov-Prozesse als auch für die Dynamik), daher wird oft gesagt, dass Systeme mit sehr hohen Frequenzen in ihnen hochgradig nicht-ergodisch sind, weil sie eine benötigen extrem lange Zeit zum Abtasten des Phasenraums, da ein extrem kleiner Zeitschritt erforderlich ist, um entlang der sehr hochfrequenten Bewegung abzutasten. Dies ist jedoch nur ein praktisches Problem, kein theoretisches.

Ich bin sicher, es gibt eine theoretischere Antwort als diese, nach der Sie vielleicht suchen, aber ich dachte, ich würde mich einschalten.