In diesem Vorlesungsvideo (bei etwa 37:17) über die Hamilton-Dynamik erwähnt der Dozent, dass man für ein (Arnold-Liouville) integrierbares endlichdimensionales Hamilton-System Folgendes hat:
Er erinnert sich dann daran und für eine gegebene Energie (dh für eine gegebene Energie-Hyperfläche), die Dimensionalität der Lösungs-Hyperfläche (die -Torus) ist , also kann man für eine gegebene Lösungshyperfläche die trennen -dimensionale Energiehyperfläche in zwei Teile (innen und außen). Das sagt er dann für eine solche Trennung ist nicht möglich, weil dann der Dimensionsunterschied zwischen einer Lösungs-Hyperfläche und einer Energie-Hyperfläche größer wäre als . Denken Sie beispielsweise daran, dass Sie a nicht trennen können -dimensional in zwei Teile mit einer Linie.
Nach all dem sagt er, wann Der Phasenraum des Systems wird zu einem "stochastischen Netz", in dem Lösungshyperflächen für eine gegebene Energie die entsprechende Energie "netzartig" überdecken. Ich würde gerne mehr über dieses "stochastische Netz" erfahren. Wo finde ich eine korrekte Definition eines stochastischen Netzes und auch weiterführende Literatur zum Thema?
PS: Ich wusste nicht, ob ich diese Frage auf MSE stellen sollte.
Ich glaube, der Begriff "stochastisches Netz" wurde zuerst in diesem Artikel verwendetvon Zaslavsky, wo er nicht die quasi-integrierbare Stochastik untersuchte, von der Sie sprechen, sondern stochastische Prozesse in 1-dimensionalen Systemen. Der Grund dafür ist, dass die meisten Menschen keine höheren Dimensionen als drei sehen können, und er interessierte sich besonders für die fraktale Struktur des Chaos (vielleicht prägte er deshalb den Begriff „stochastisches Netz“). Der wichtige Punkt hier ist, dass "stochastisches Netz" kein sehr populärer Name ist und nicht auf quasi integrierbare Systeme beschränkt ist: Jedes chaotische System, dessen Chaos den Phasenraum nicht vollständig abdeckt, hat stochastische Netze, die ihm zugeordnet sind; Sie befinden sich um die Separatrix herum, die die Inseln der Stabilität bedeckt. In seinem Artikel untersucht Zaslavsky viele chaotische Systeme und Karten und bemüht sich, die Anfangsbedingungen so anzupassen, dass der Phasenraum nicht nur chaotische Merkmale aufweist, sondern aber dass diese Merkmale fraktaler Natur sind. Das Ergebnis ist ein Papier, auf dem erstaunliche Phasenraumbilder zu finden sind, auch wenn einige keine stochastischen Netze sind: Der gesamte Raumraum ist dicht bedeckt.
In Bezug auf Chaos in integrierbaren Systemen ist es elementar zu beweisen, dass jedes Hamilton-System mit einem Freiheitsgrad integrierbar ist. Das bedeutet, dass die einzige Möglichkeit, ein 1-dimensionales Hamiltonsches System in etwas nicht Integrierbares zu verwandeln, darin besteht, Störungen hinzuzufügen, was bedeutet, dass Sie eine Wahl treffen müssen: Wenn Sie sich entscheiden, eine zeitabhängige Störung hinzuzufügen und das entstehende Chaos zu sehen, dann Sie sind absolut sicher, dass das resultierende chaotische System dies nicht tun wirdintegrierbar sein. In einem 4-dimensionalen Phasenraum kann man Hamiltonoperatoren nehmen, die eigentlich keiner Störung bedürfen, da sie an sich chaotisch sind, obwohl der Hamiltonoperator eine Bewegungskonstante ist. Nun, im 6-dimensionalen Phasenraum erhalten Sie den Effekt, von dem Sie sprechen: Chaos kann zwischen zwei Tori "durchsickern" und sich in einer mittleren Dimension ansammeln, da die Tori nicht den gesamten Phasenraum abdecken können, wenn sie durch Energie indiziert werden ... Aber ich würde sagen, dies ist eine Eigenschaft, die mit der Dimension verbunden ist, nicht mit dem Chaos. Die Definition von "stochastischem Netz" ändert sich nicht: Es ist ein chaotisches Filament des Phasenraums, in dem die Dynamik chaotisch, aber außerhalb davon regelmäßig ist. Ich denke, der Lehrer hat den Begriff "stochastisches Netz" nur als Analogie für eine Region verwendet, in der sich das Chaos "als Netz ausbreitet",
QuantumBrick