Poincare-Rückkehrkarte als gebietserhaltende Karte

Inwiefern ist die Poincare-Rückkehrkarte gebietserhaltend?

Im üblichen Sinne: Seine Dynamik bewahrt Phasenraumvolumina.

Ich versuche, eine Vorstellung davon zu bekommen, wie die Poincare-Rückkehrkarte gebietserhaltend ist

Ich bin mir nicht sicher, ob ich selbst einen habe. Aber dies ist eine Folge davon, dass nicht nur der Hamilton-Fluss, sondern auch seine Poincaré-Karte ( Lit. 2 ) symplektisch ist . Und, wie in Cvitanovićs Chaos Book eloquent erklärt :

für Hamiltonian fließt die Summe von$D$orientierte Bereiche$\mathcal{V}_i$begrenzt durch$D$Schleifen$\Omega\mathcal{V}_i$, jeweils eins$(q_i,p_i)$Ebene, ist konserviert [...]. Das kann man auch dem zeigen$4, 6, ..., 2D$Phasenraumvolumina bleiben erhalten.
[...]
Der Phasenraum ist$2D$-dimensional, aber wie es gibt$D$Koordinatenkombinationen, die durch den Fluss konserviert werden, ist moralisch ein Hamiltonscher Fluss$D$-dimensional. Daher ist für Hamiltonsche Flüsse der Schlüsselbegriff der Dimensionalität$D$, die Anzahl der Freiheitsgrade (dof), und nicht die Phasenraum-Dimensionalität$d=2D$.

All diese konservierten Größen ermöglichen es also, dass die Dynamik im Poincaré-Abschnitt ebenfalls konservativ ist.

Wie das genau abläuft, kann man sich wahrscheinlich ein Bild machen, indem man sich einige Beweise dafür ansieht. Ich habe bei einer schnellen Suche keine gefunden, aber Jason Franks sehr gut lesbare Vorlesungsunterlagen zur numerischen Modellierung dynamischer Systeme tun dies auf einer Seite ( Kap. 16, S. 101 ) für die Flusskarte .

ist die Poincare-Rückkehrkarte nur ein Gebiet, das für die Sammlung von "gleichen Rückkehrpunkten" erhalten bleibt$\{(q^k_1,p^k_1)\}$? [zu unterschiedlichen Wiederkreuzungszeiten]

Ja. Denn das ist die einzige Zeit, die für die Karte existiert: Wenn wir davon sprechen, dass die Poincaré-Karte konservativ ist oder nicht, betrachten wir sie als ein eigenes dynamisches System - und dann ist die einzige sinnvolle Zeit die diskrete Iteration Nummer$k$.

Typischerweise eine Poincare-Karte$P$eines glatten dynamischen Systems, gegeben durch ein Vektorfeld$X(x)$auf einem Verteiler$M$, ist auf einem in Codimesnion 1 eingebetteten Querschnitt aufgebaut$\Sigma$zu einem periodischen Verlauf$\gamma_0$(Umlaufbahn) des Systems. Dann die Poincare-Karte$P : \Sigma \to \Sigma$, auch First-Return-Map genannt, ist ein lokaler Diffeomorphismus auf dem Querschnitt. Um es zu konstruieren:

1. jeden Punkt nehmen$x$auf dem Querschnitt$\Sigma$, nah genug am speziellen Punkt$x_0 = \gamma_0 \,\cap \, \Sigma$, wo die periodische Umlaufbahn den Querschnitt durchsticht;

2. Nehmen Sie die einzigartige Flugbahn$\gamma_x$des Vektorfeldes$X(x)$das geht durch$x$und folgen Sie ihm in Richtung$X$bis$\gamma_x$schneidet$\Sigma$zum ersten Mal, danach$x$. Dieser Schnittpunkt ist bezeichnet$P(x)$und ist das Bild von$x$unter der Poincare-Karte.

Die Flugbahn$\gamma_x$wird als unparametrierte Kurve betrachtet, also die Bahnen ausgehend von$\Sigma$Rückkehr dort zu unterschiedlichen Zeiten, aber diese Zeiten hängen eigentlich nahtlos von der Wahl ab$x \in \Sigma$, dh es liegt eine glatte Funktion vor$t(x)$An$\Sigma$so dass$t(x)$ist die Zeit, die der Punkt ist$x$muss mit$\gamma_x$und zurück zu$\Sigma$als$P(x)$. Bei manchen Systemen$t(x)$kann zufällig eine Konstante sein, ist es aber im Allgemeinen nicht (insbesondere für die meisten nichtlinearen Systeme).

Wenn nun das Vektorfeld$X(x)$ist hamiltonsch mit Funktion$H(x)$auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit$M$mit einer symplektischen Zweierform$\omega$, Dann$\Sigma$ist ungeraddimensional und kann keine symplektische Untermannigfaltigkeit von sein$M$, also die Volumenform$\Theta = \omega \wedge \omega \wedge ... \wedge \omega$ist keine Volumenform, wenn beschränkt auf$\Sigma$. Allerdings ist die Einschränkung bzgl$\omega$An$\Sigma$, obwohl keine symplezitische Form, definiert die Poisson-Struktur auf$\Sigma$, dh$\Sigma$ist eine Poisson-Mannigfaltigkeit und die Schnittpunkte der ebenen Flächen des Hamiltonain$H$mit$\Sigma$Definieren Sie eine Codimesion mit einer symplektischen Schieferung$\Sigma$, die unter der Poincare-Abbildung invariant ist$P$. Nun, auf jedem dieser symplektischen Blätter,$P$ist s Symplektomorphismus und ist daher flächenerhaltend. Im Grunde erhalten Sie also eine Poincare-Karte

$$P : \Sigma \, \cap \, \{H=const\} \to \Sigma \, \cap \, \{H=const\}$$ und oben drauf$\Sigma \, \cap \, \{H=const\}$zusammen mit der symplektischen Form$\omega$beschränkt auf$\Sigma \, \cap \, \{H=const\}$ist eine symplektische Untermannigfaltigkeit von Codimensnion 2 von$M$. Als$P$ist symplektisch an$\Sigma \, \cap \, \{H=const\}$, es ist bereichserhaltend.

Es gibt eine andere Interpretation, bei der die Situation direkter ist. Wenn Sie eine periodische zeitabhängige Hamiltonain-Funktion haben$H(x,t)$auf der symplektischen Mannigfaltigkeit$M$, sagen$H(x, t+T) = H(x,t)$, betrachten Sie das erweiterte Vektorfeld

$$J\nabla_x H(x,t) + \frac{\partial }{\partial t}$$ definiert an$M \times \big( \mathbb{R}\, /\, T\mathbb{Z} \big)$und dann ist der Querschnitt einfach$M\times \{0\} \equiv M \times \{T\}$Die Poincare-Karte ist also einfach $$P = \Phi^T\big|_{M\times \{0\} } \, : M\times \{0\} \, \to \, M\times \{T\}$$ Wo$\Phi^s(x,t)$ist der Phasenfluss des Vektorfeldes$J\nabla_x H(x,t) + \frac{\partial }{\partial t}$. So wie der Ablauf$\Phi^s(x,t)$behält die symplektische Form bei$M$, die Karte$P$ist ein Symplektomorphismus und daher volumenerhaltend.

Ein Beispiel ist ein erzwungenes Pendel wie dieses:

$$\begin{align} &\frac{d x}{ dt} = p\\ &\frac{dp}{dt} = - \sin(x) + \cos(t) \end{align}$$ mit Hamiltonin$H = \frac{1}{2} p^2 - \cos(x) - x\,\cos(t)$. Dann ist das erweiterte Vektorfeld $$\begin{align} &\frac{d x}{ ds} = p\\ &\frac{dp}{ds} = - \sin(x) + \cos(t)\\ &\frac{dt}{ds} = 1 \end{align}$$