Nichtlineares PT-symmetrisches Modell und Integrierbarkeit

Question

Nichtlineares PT-symmetrisches Modell und Integrierbarkeit

Physik
komplexe Systeme
Erhaltungsgesetze
Nichtlineare Optik
integrierbare-systeme
nichtlineare Systeme

p0ffer

Ich habe einen mathematischen Hintergrund und diese Konzepte sind ein bisschen neu für mich. Ich studiere eine Übungsarbeit und stoße auf folgendes Problem. Mit $u_i(t)=u_i$ und natürlich $u_i u_i^*=|u|^2$ für ( $i=1,2$ ) Wo $\chi$ , $\beta$ , $\omega_0$ Und $\gamma$ Konstanten sind, haben wir das System:

\begin{aligned} ich \dot{u_{1}} & = - (ω_{0} + ich β) u_{1} + χ | u_{1} |^{2} u_{1} + γ u_{2} \\ ich \dot{u_{2}} & = - (ω_{0} - ich β) u_{2} + χ | u_{2} |^{2} u_{2} + γ u_{1} . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} i \dot{u_1} & = -(\omega_0 + i \beta) u_1 + \chi |u_1|^2 u_1 + \gamma u_2 \\ i \dot{u_2} & = -(\omega_0 - i \beta) u_2 + \chi |u_2|^2 u_2 + \gamma u_1. \end{split} \end{equation}$

*Kurzer physikalischer Einblick in das Problem: Es handelt sich um ein PT-symmetrisches nichtlineares Dimer. Das System besteht aus zwei PT-gekoppelten Wellenleiterelementen mit Kerr-Nichtlinearität der Stärke $\chi$ die mit aa-Frequenz arbeiten $\omega_0$ . Jeder der Wellenleiter ist einmodig, wobei einer eine Verstärkung und der andere einen gleichen Verlust bereitstellt. (wobei PT die kombinierte Paritäts-Zeit-Transformation ist, $u_1 \leftrightarrow u_2$ (Paritätstransformation) und $t \to -t$ (Zeitumkehr)).

Er möchte die beiden Erhaltungsgrößen für identifizieren $\beta=0$ Und $\beta\neq0$ Schreiben Sie das System jeweils auch in Form von $S_i$ 'S. Die Stokes-Parameter sind die folgenden:

\begin{aligned} S_{0} = | u_{1} |^{2} + | u_{2} |^{2}, S_{3} = | u_{1} |^{2} - | u_{2} |^{2}, \\ S_{1} = u_{1} u_{2}^{*} + u_{1}^{*} u_{2}, S_{2} = ich (u_{1} u_{2}^{*} - u_{1}^{*} u_{2}) . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} & S_0 = |u_1|^2 + |u_2|^2,\quad S_3 = |u_1|^2 - |u_2|^2,\\ & S_1 = u_1 u_2^* + u_1^* u_2,\quad S_2 = i(u_1 u_2^* - u_1^* u_2). \end{split} \end{equation}$

Hier ist, was ich getan habe (ich habe das Wichtige hier geschrieben und nicht viele der Berechnungen):

A) Für $\beta=0$ , Leistung $N$ ist erhalten, was einfach ist, indem man die Zeitableitung nimmt:

N = S_{0} = | u_{1} |^{2} + | u_{2} |^{2}

$\begin{equation} N = S_0=|u_1|^2 + |u_2|^2 \\ \end{equation}$

\begin{aligned} \frac{D N}{D T} = \frac{D}{D T} (| u_{1} |^{2} + | u_{2} |^{2}) \Rightarrow \\ \frac{D N}{D T} = (\dot{u_{1}} u_{1}^{*} + u_{1} {\dot{u_{1}}}^{*}) + (\dot{u_{2}} u_{2}^{*} + u_{2} {\dot{u_{2}}}^{*}) \Rightarrow \\ \frac{D N}{D T} = 0 \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(|u_1|^2+|u_2|^2)\Rightarrow \\ \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d} t}=(\dot{u_1}u_1^*+u_1\dot{u_1}^*)+(\dot{u_2}u_2^*+u_2\dot{u_2}^*) \Rightarrow \\ \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d} t}=0 \end{split} \end{equation}$

Nicht sicher, welche Art von Energie $E$ wird konserviert.

B) Für $\beta\neq0$ Ich kann keine Erhaltungsmengen finden.

Ich habe das Anfangssystem auch anders geschrieben, indem ich es mit multipliziert habe $u_1^*$ Und $u_2^*$ und sie dann zusammenzufügen, um sie dann in eine Form von zu schreiben $S_i$ 's und etwas Nützliches bekommen, aber ich bin nirgendwo hingekommen.

Ideen oder Hilfe bei der Lösung des Systems oder der Suche nach den konservierten Mengen wären daher willkommen, da ich online nicht viele Informationen zu diesem Thema finden kann.

ZeroTheHero

Einige Leute könnten zusätzliche Erkenntnisse gewinnen, wenn Sie den physikalischen Kontext Ihrer Frage erweitern könnten.

QMechaniker

Ist das Übungspapier online verfügbar?

p0ffer

Nein, es ist eine Arbeit, die von einem Professor gegeben wird. Das einzige, was ich vergessen habe hinzuzufügen, ist, dass vielleicht etwas in Form von

E = N + \frac{χ}{2} (| u_{1} |^{4} + | u_{2} |^{4})

$E = N + \frac{\chi}{2} \left( |u_1|^4 + |u_2|^4 \right)$ eine Rolle spielt, aber ich war mir nicht sicher, also habe ich es nicht geschrieben. Und für das System hat er uns einen Tipp zum Schreiben gegeben

S_{1} + i S_{2}

$S_1+iS_2$ aber ich habe immer noch keinen Fortschritt gesehen, das sind so ziemlich alle Informationen.

p0ffer

Einige hilfreiche Referenzen, die Sie möglicherweise nützlich finden: arxiv.org/abs/1311.4124 , arxiv.org/abs/1307.2788 , arxiv.org/abs/1005.5189 (dritte Referenz wo

C, J

$C,J$ vorhanden sind, ist es wahrscheinlich die seltsame Lösung für das System, für die anderen beiden schauen Sie sich nur die ersten 2-3 Seiten an)

QMechaniker

Crossposting von math.stackexchange.com/q/2170993/11127

Antworten (1)

Nichtlineares PT-symmetrisches Modell und Integrierbarkeit

Einige Leute könnten zusätzliche Erkenntnisse gewinnen, wenn Sie den physikalischen Kontext Ihrer Frage erweitern könnten.
Nein, es ist eine Arbeit, die von einem Professor gegeben wird. Das einzige, was ich vergessen habe hinzuzufügen, ist, dass vielleicht etwas in Form von $E = N + \frac{\chi}{2} \left( |u_1|^4 + |u_2|^4 \right)$ eine Rolle spielt, aber ich war mir nicht sicher, also habe ich es nicht geschrieben. Und für das System hat er uns einen Tipp zum Schreiben gegeben $S_1+iS_2$ aber ich habe immer noch keinen Fortschritt gesehen, das sind so ziemlich alle Informationen.
Einige hilfreiche Referenzen, die Sie möglicherweise nützlich finden: arxiv.org/abs/1311.4124 , arxiv.org/abs/1307.2788 , arxiv.org/abs/1005.5189 (dritte Referenz wo $C,J$ vorhanden sind, ist es wahrscheinlich die seltsame Lösung für das System, für die anderen beiden schauen Sie sich nur die ersten 2-3 Seiten an)

QMechaniker · Answer 1

OP untersucht ein gekoppeltes System der Form
$\begin{matrix} (A) & \begin{aligned} ich {\dot{u}}_{1} & = - ich β u_{1} + χ | u_{1} |^{2} u_{1} + γ u_{2}, u_{1}, u_{2} \in C, \\ ich {\dot{u}}_{2} & = + ich β^{*} u_{2} + χ | u_{2} |^{2} u_{2} + γ^{*} u_{1}, χ \in R ∖ {0}, β \in C, γ \in C ∖ {0} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{split} i \dot{u}_1 & ~=~ - i\beta u_1 + \chi |u_1|^2 u_1 + \gamma u_2, \qquad u_1,u_2~\in~\mathbb{C}, \cr i \dot{u}_2 & ~=~ + i\beta^{\ast} u_2 + \chi |u_2|^2 u_2 + \gamma^{\ast}u_1,\qquad \chi~\in~\mathbb{R}\backslash\{0\},\qquad \beta~\in~\mathbb{C},\qquad \gamma~\in~\mathbb{C}\backslash\{0\}. \end{split} \tag{A}$
Dieses System (A) ist $PT$ -symmetrisch. Die Zeitreflexionssymmetrie ist $t \leftrightarrow -t$ . Die Paritätssymmetrie $P$ Ist $u_1 \leftrightarrow u_2^{\ast}$ .
Das System (A) hat eine Lagrange-Formulierung für ${\rm Re}\beta=0$ :
$\begin{matrix} (B) & L := ich \sum_{k = 1}^{2} u_{k}^{*} {\dot{u}}_{k} - H, H := 2 R e (γ u_{1}^{*} u_{2}) + \sum_{k = 1}^{2} (| u_{k} |^{2} ICH M β + \frac{χ}{2} | u_{k} |^{4}) . \end{matrix}$ $L~:=~i \sum_{k=1}^2 u^{\ast}_k\dot{u}_k - H, \qquad H~:=~ 2{\rm Re}(\gamma u^{\ast}_1 u_2) +\sum_{k=1}^2\left(|u_k|^2{\rm Im} \beta +\frac{\chi}{2}|u_k|^4\right).\tag{B}$
Durch Neudefinition von
$\begin{matrix} (C) & u_{k} ⟶ e^{- ich T ICH M β} u_{k}, k \in {1, 2}, \end{matrix}$ $u_k~\longrightarrow~ e^{-it{\rm Im}\beta}u_k, \qquad k~\in~\{1,2\},\tag{C}$ davon können (und werden) wir ausgehen $\beta\in\mathbb{R}$ ist echt. Durch Neudefinition von $u_1$ Und $u_2$ bei entgegengesetzten Phasen können (und werden) wir davon ausgehen $\gamma\in\mathbb{R}$ ist echt.
Wenn wir Polarkoordinaten definieren $u_k=r_k e^{i\theta_k}$ , werden die Bewegungsgleichungen (A).
$\begin{matrix} (D) & \begin{aligned} {\dot{R}}_{1} & = - β R_{1} + γ R_{2} Sünde (θ_{2} - θ_{1}), \\ {\dot{R}}_{2} & = β R_{2} - γ R_{1} Sünde (θ_{2} - θ_{1}), \\ - {\dot{θ}}_{1} & = χ R_{1}^{2} + γ \frac{R_{2}}{R_{1}} \cos (θ_{2} - θ_{1}), \\ - {\dot{θ}}_{2} & = χ R_{2}^{2} + γ \frac{R_{1}}{R_{2}} \cos (θ_{2} - θ_{1}) . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{split} \dot{r}_1&~=~-\beta r_1 +\gamma r_2\sin(\theta_2\!-\!\theta_1), \cr \dot{r}_2&~=~\beta r_2 -\gamma r_1\sin(\theta_2\!-\!\theta_1), \cr -\dot{\theta}_1 &~=~\chi r_1^2 +\gamma \frac{r_2}{r_1}\cos(\theta_2\!-\!\theta_1), \cr -\dot{\theta}_2 &~=~\chi r_2^2 +\gamma \frac{r_1}{r_2}\cos(\theta_2\!-\!\theta_1). \end{split}\tag{D}$
Die Stokes-Parameter $S_{\mu}:={\bf u}^{\dagger}\sigma_{\mu}{\bf u}$ werden von gegeben
$\begin{matrix} (E) & \begin{aligned} S_{0} & = R_{1}^{2} + R_{2}^{2}, \\ S_{3} & = R_{1}^{2} - R_{2}^{2}, \\ S_{1} & = 2 R_{1} R_{2} \cos (θ_{2} - θ_{1}), \\ S_{2} & = 2 R_{1} R_{2} Sünde (θ_{2} - θ_{1}) . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{split} S_0&~=~r_1^2+r_2^2, \cr S_3&~=~r_1^2-r_2^2, \cr S_1&~=~2r_1r_2\cos(\theta_2\!-\!\theta_1),\cr S_2&~=~2r_1r_2\sin(\theta_2\!-\!\theta_1). \end{split}\tag{E}$ Sie erfüllen eine Einschränkung $\vec{S}^2=S^2_0$ . Die Bewegungsgleichungen (D) werden $\begin{matrix} (F) & \begin{aligned} {\dot{S}}_{0} & = - 2 β S_{3}, \\ {\dot{S}}_{3} & = - 2 β S_{0} + 2 γ S_{2}, \\ {\dot{S}}_{1} & = - χ S_{2} S_{3}, \\ {\dot{S}}_{2} & = (χ S_{1} - 2 γ) S_{3} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{split} \dot{S}_0 &~=~-2\beta S_3, \cr \dot{S}_3 &~=~-2\beta S_0+2\gamma S_2, \cr \dot{S}_1 &~=~-\chi S_2 S_3, \cr \dot{S}_2 &~=~(\chi S_1 -2\gamma) S_3. \end{split}\tag{F}$
Gl. (5) in Ref.-Nr. 1 ist Gl. (A) mit $\gamma=1$ . Es sind 2 Erhaltungsgrößen aufgeführt $C$ Und $J$ in Gl. (7) von Lit. 1, vgl. obiger Kommentar von OP. Wir vermuten, dass die einschlägigen Verallgemeinerungen lauten
$\begin{matrix} (G) & \begin{aligned} C^{2} & := (χ S_{1} - 2 γ)^{2} + (χ S_{2})^{2}, \\ J & := S_{0} + \frac{2 β}{χ} \arcsin \frac{χ S_{1} - 2 γ}{C} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{split} C^2~&:=~(\chi S_1-2\gamma)^2+(\chi S_2)^2, \cr J~&:=~S_0+\frac{2\beta}{\chi}\arcsin\frac{\chi S_1-2\gamma}{C}. \end{split}\tag{G}$ Es ist leicht zu überprüfen, ob es sich tatsächlich um Bewegungskonstanten handelt. Mit anderen Worten, das System (A) mit einem 4-dimensionalen realen Phasenraum ist integrierbar .
Nachtrag: Es ist verlockend zu definieren
$\begin{matrix} (H) & Σ_{\pm} := (S_{1} - \frac{2 γ}{χ}) \pm ich S_{2} = Σ_{\mp}^{*} . \end{matrix}$ $\Sigma_{\pm}~:=~\left(S_1 -\frac{2\gamma}{\chi}\right)\pm i S_2~=~\Sigma_{\mp}^{\ast}.\tag{H}$ Dann $\begin{matrix} (ICH) & {\dot{Σ}}_{\pm} = \pm ich χ S_{3} Σ_{\pm}, \end{matrix}$ $\dot{\Sigma}_{\pm}~=~\pm i \chi S_3\Sigma_{\pm},\tag{I}$ und dann $\begin{matrix} (J) & Q_{\pm} := \exp {\frac{ich χ S_{0}}{2 β}} Σ_{\pm} = Q_{\mp}^{*} \end{matrix}$ $Q_{\pm}~:=~\exp\left\{\frac{i\chi S_0}{2\beta}\right\}\Sigma_{\pm}~=~Q_{\mp}^{\ast}\tag{J}$ ist 1 komplexe (entsprechend 2 reelle) Bewegungskonstanten.

Verweise:

H. Ramezani, T. Kottos, R. El-Ganainy & DN Christodoulides, Unidirectional Nonlinear PT-symmetric Optical Structures, arXiv:1005.5189 .

Hmm verstehe, habe ich auch gefunden $E$ für $\beta=0$ aber ich möchte zwei kleine Fragen stellen. 1) In meiner Arbeit für $\beta\neq0$ ich fand $\dot {S_i}$ hat entgegengesetzte Vorzeichen, wie ich zum Beispiel gefunden habe $\dot{S_3}=2\beta S_3$ und so weiter ... 2) Zweitens habe ich in Ihrem ursprünglichen System (A) gesehen, dass Sie es nicht aufgenommen haben $\omega_0$ , spielt es keine Rolle in den endgültigen Gleichungen und Bewegungskonstanten?
Hallo noch einmal, es tut mir leid, dass ich Sie nach so vielen Tagen erneut belästige, aber ich überprüfe meine Arbeit und stehe vor einem Problem (wollte keinen neuen Thread dazu erstellen). Ich habe so ziemlich alles verstanden, aber ich würde es begrüßen, wenn Sie mir Schritt für Schritt erklären könnten, wie Sie zu den Gleichungen (G) und besonders gekommen sind $J$ . Ich nehme an, Sie haben sie aus Gleichung (J) abgeleitet, aber das ergibt für mich keinen Sinn. Danke, ich würde mich über eine Antwort freuen.
Ich gehe davon aus, dass Sie damit einverstanden sind, dass Gl. (G) & (J) beschreiben tatsächlich Bewegungskonstanten und zeigen daher Integrierbarkeit und lösen das Problem. Ihre Frage scheint also zu sein: Wie leiten Sie diese Bewegungskonstanten systematisch Schritt für Schritt ab?
Genau, ja. Sogar in der Referenz gibt es eine ernsthafte Lücke, die nicht erklärt, wie er auf die Bewegungskonstante (Gleichungen (G)) gekommen ist. Auch würde ich eine etwas bessere Erklärung mit (J) haben.
In meinem Fall war es nicht wirklich systematisch. Gl. (G) wurde im Wesentlichen von Gl. (7) in Ref.-Nr. 1. Und Gl. (J) kam, nachdem er ein bisschen mit den Gleichungen gespielt hatte.
Ja, ich verstehe. Vielleicht irgendwelche Ideen, wie man in Gl. (G) Schritt für Schritt (vielleicht können wir Gl. (G) aus Gl. (J) erhalten)? Das ist das Hauptproblem atm.

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