Wie führt man eine lineare Stabilitätsanalyse für dieses System von ODEs durch?

Ich habe versucht, eine lineare Stabilitätsanalyse des Federpendels durchzuführen. Ich gelangte zu den Differentialgleichungen, die das System beschreiben. Aber ich kann nicht mit der linearen Stabilitätsanalyse fortfahren. Ist es möglich, eine lineare Stabilitätsanalyse für Differentialgleichungen 2. Ordnung durchzuführen, indem Eigenwerte der Jacobi-Matrix ermittelt werden? Die Gleichungen lauten wie folgt:

M R ″ − M ( L + R ) ( θ ' ) 2 − M G cos ⁡ ( θ ) + k R ' = 0
Und

( L + R ) θ ″ + 2 R ' θ ' + G Sünde ⁡ ( θ ) = 0.

UPDATE: Die Fixpunkte sind ( M G / k , 0 ) Und ( − M G / k , π )

Ich würde damit beginnen, das Problem um einen stationären Punkt zu linearisieren. Dann in ein System von linearen Oden erster Ordnung reorganisieren, die Eigenwerte dieser Matrix sollten <1 sein.
@ user3823992 Meinst du nicht, dass die Eigenwerte einen negativen Realteil haben sollten, da es sich um einen Eigenwert handelt? λ entspricht einem exp ⁡ ( λ T ) Term in der Lösung der linearisierten DEs? ( | λ J | < 1 ist das Kriterium für diskrete Zeitsysteme, dh gekoppelte Rekursionsbeziehungen, da λ J entspricht dann a λ J N Term in der Lösung linearisierter Gleichungen).
Ja, ganz richtig. Negative Realteile.

Antworten (3)

Ich nehme den Kern der Frage an

Ist es möglich, eine lineare Stabilitätsanalyse für Differentialgleichungen 2. Ordnung durchzuführen, indem Eigenwerte der Jacobi-Matrix ermittelt werden?

Die Antwort ist ja, aber zuerst müssen Sie Ihre Gleichungen zweiter Ordnung in Gleichungen erster Ordnung umwandeln.

Das ist eigentlich ziemlich einfach: Jedes Mal, wenn Sie eine zweite Ableitung sehen, z X ″ , Sie führen einfach eine neue Variable ein, j = X ' . Dann kannst du ersetzen X ″ mit j ' . Die gleichung X ' = j dem Satz von Gleichungen hinzugefügt werden, sodass in Ihrem Fall aus Ihren zwei Gleichungen zweiter Ordnung vier Gleichungen erster Ordnung werden. Nachdem Sie dann die Gleichungen neu angeordnet haben, um alle Ableitungen auf der linken Seite zu platzieren, können Sie die Jacobi-Funktion aufschreiben und ihre Eigenwerte berechnen, genau wie Sie es für jeden Satz von Differentialgleichungen erster Ordnung tun würden.

(Ich entschuldige mich dafür, dass ich nicht die Arbeit gemacht habe, diese Technik tatsächlich auf Ihr Problem anzuwenden, aber ich hoffe, diese Antwort gibt Ihnen genug Informationen, um es selbst zu tun.)

Die Antwort von Nathaniel ist klar und richtig, aber lassen Sie mich hinzufügen: Es ist durch Inspektion offensichtlich, dass dies eine Bewegung in einem Potential ist, das von einem Hamilton-Operator abgeleitet werden kann

R ˙ 2 + R 2 θ ˙ 2 2 + v ( R , θ ) .
Jetzt müssen Sie nur noch feststellen, ob um die Gleichgewichtspunkte herum v hat ein Minimum oder ein Maximum/Sattel: im ersten Fall ist die Bewegung stabil, sonst nicht. Dies erfordert die Berechnung der Eigenwerte von a 2 × 2 Matrix, erheblich einfacher als die 4 × 4 Matrix vorgeschlagen von Nathaniel.

Außerdem ermöglicht es Ihnen, etwas Kontakt mit der Physik aufzunehmen, anstatt sie als ein rein mathematisches Problem zu diskutieren.

Sie müssen Ihre Gleichungen um einen beliebigen stationären Punkt herum linearisieren. Dann können Sie es tatsächlich so behandeln, als würden Sie Eigenwerte finden.

Wie führt man eine lineare Stabilitätsanalyse für dieses System von ODEs durch?
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