Ich analysiere die Stabilität eines doppelten physikalischen Pendels und habe das dimensionslose Gleichungssystem bestimmt
ϕ¨cos( θ − ϕ ) +ϕ˙2Sünde( θ − ϕ ) +αθ¨+ βSündeθ =0θ¨cos( θ − ϕ ) −θ˙2Sünde( θ − ϕ ) +γϕ¨+ Sündeϕ =0
Wo
a
,
β
Und
γ
definiert sind
aβγ=(ICH1+ (M1+M2)L21)M2L1L2=L1(M1+M2)M2L2=(ICH2+M2L22)M2L1L2.
Einstellung
ϕ¨=θ¨=ϕ˙=θ˙= 0
, finden wir, dass die stationären Punkte des Systems bei sind
( 0 , 0 ) ,( 0 , π) ,( π, 0 ) ,( π, π)
.
An diesen Punkten möchte ich die Stabilität des Systems finden. So habe ich versucht, sie zu finden, bin mir aber etwas unsicher, ob meine Arbeit korrekt ist:
Ich habe das Gleichungssystem linearisiert
ϕ¨+ aθ¨+ βθ = 0θ¨+ ϕ + γϕ¨= 0.
Umstellen und Ersetzen der Gleichungen ineinander
θ¨=βγ1 − αγ _θ −11 − αγ _ϕϕ¨=a1 − αγ _ϕ −β1 − αγ _θ.
Dies als Matrixgleichung ausdrücken
DDT⎡⎣⎢⎢⎢⎢θθ˙ϕϕ˙⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢0βγ1 − αγ _0−β1 − αγ _10000−11 − αγ _0a1 − αγ _0010⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢θθ˙ϕϕ˙⎤⎦⎥⎥⎥⎥.
Bestimmung der charakteristischen Gleichung für die Eigenwerte der Matrix
det ( A − λ I) =∣∣∣∣∣∣∣− λβγ1 − αγ _0−β1 − αγ _1− λ000−11 − αγ _− λa1 − αγ _001− λ∣∣∣∣∣∣∣= 0⟹λ4−α + βγ1 − αγ _λ2+αβ _γ− β( 1 − α γ)2= 0⟹λ4−α + βγ1 − αγ _λ2−β1 − αγ _= 0
Das Auflösen nach den Eigenwerten unter Verwendung der quadratischen Formel ergibt
λ2=( α + βγ) ±( − ( α + βγ))2− 4 ( 1 − α γ) ( − β)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√2 ( 1 − α γ)=( α + βγ) ±a2− 2 α βγ+β2γ2+ 4β _−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√2 ( 1 − α γ)=( α + βγ) ±( α − βγ)2+ 4β _−−−−−−−−−−−−√2 ( 1 − α γ)
Ich bin mir nicht sicher, ob das funktioniert. Die Stabilität an diesen Punkten sollte sicherlich nicht von den Parametern abhängen. Ich fühle, dass( 0 , 0 )
sollte immer stabil sein.
Habe ich den Jacobi nicht richtig gefunden? Oder soll ich vielleicht die Tatsache ausnutzen, dass die Parameter positiv sind? Jede Hilfe oder Klärung wäre sehr willkommen.
Valter Moretti