Klassifizieren Sie Gleichgewichtspunkte und finden Sie Bifurkationspunkte eines nichtlinearen dynamischen Systems

Question

Klassifizieren Sie Gleichgewichtspunkte und finden Sie Bifurkationspunkte eines nichtlinearen dynamischen Systems

Physik
Eigenwert
Gleichgewicht
nichtlineare Systeme
Hausaufgaben-und-Übungen

statisk

Kontext : Die Frage bezieht sich auf die Computerphysik nichtlinearer Systeme mit Mathematica .

Übung : Gegeben das System $\{f_1: \dot{x} = a x + y + x^3, f_2: \dot{y} = x - y \}$ :

Finde die Gleichgewichtspunkte und klassifiziere sie.
Welche Art von Verzweigung gibt es und für welchen Wert $a=a^*$ passiert es?
Zeichnen Sie für sich das Phasenportrait $a<a^*$ und für einen $a>a^*$ .

Lösung : Ich berechne die Gleichgewichtspunkte durch Lösen des Gleichungssystems $\{\dot{x} = 0, \dot{y} = 0\}$ . Ich bekomme drei Lösungen: $(0,0), (-\sqrt{-1-a},-\sqrt{-1-a}), (\sqrt{-1-a}, \sqrt{-1-a})$ .

In meinen Vorlesungsunterlagen wird erwähnt, dass ich, um einen Gleichgewichtspunkt zu klassifizieren, zuerst die Topologie in der Nähe der Gleichgewichtspunkte herausfinden muss. Dazu werden die Eigenwerte der folgenden Matrix berechnet:

A = {(\begin{matrix} \frac{\partial F_{1}}{\partial X} & \frac{\partial F_{1}}{\partial j} \\ \frac{\partial F_{2}}{\partial X} & \frac{\partial F_{2}}{\partial j} \end{matrix})}_{(X_{0}^{*}, j_{0}^{*})}

$\begin{equation} A= \begin{pmatrix}\frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y}\\\frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y}\end{pmatrix}_{(x_0^*, y_0^*)} \end{equation}$

Wie aus dem folgenden Screenshot ersichtlich ist (L1 sind die Eigenwerte der Matrix A, berechnet am 1. Gleichgewichtspunkt, bei (0,0)), können wir das sehen:

für $a <-1$ , es ist $\lambda_1 < 0, \lambda_2 < 0$ , daher ist es ein stabiler Knoten.
für $a>-1$ , es ist $\lambda_1 < 0 < \lambda_2$ , also ist es Sattel.

Meine 1. Frage ist : Wozu geschieht das? $a = -1$ , wo die Eigenwerte werden (-2, 0) ? Meine nächste Vermutung ist, das Hartman-Grobman-Theorem zu verwenden und zu sagen, dass der Gleichgewichtspunkt "linear stabil" ist. Gibt es etwas, das ich hier vermisse?

Meine zweite Frage lautet : In Bezug auf den Bifurkationspunkt leiten wir aus der Betrachtung der Gleichgewichtspunkte des Systems den Wert ab $a=-1$ sie ändern sich (der stabile Knoten wird zum Sattel und umgekehrt). Genügt das zu sagen, dass es einen Bifurkationspunkt bei gibt $a=-1$ ? Auch für $a=-1$ die drei Gleichgewichtspunkte kollidieren mit nur einem. Wie passt diese Tatsache zu allem anderen?

Eigenwerte der Matrix für Gleichgewichtspunkt (0,0)

Aktualisieren:

Das sind die Phasenportraits für $a<a^*, a>a^*$ mit $a^*=-1$ als Bifurkationspunkt:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Bruce Dean

Nettes Update, deine Plots sehen cool aus. Versuchen Sie auch, einige Animationen als Funktion von a zu erstellen.

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Klassifizieren Sie Gleichgewichtspunkte und finden Sie Bifurkationspunkte eines nichtlinearen dynamischen Systems

Nettes Update, deine Plots sehen cool aus. Versuchen Sie auch, einige Animationen als Funktion von a zu erstellen.

Bruce Dean · Answer 1

Zur Kontrolle bekomme ich für Ihre lineare Stabilitätsmatrix:

A = {(\begin{matrix} 3 X^{2} + A & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}) |}_{(X * = 0, j * = 0)} = (\begin{matrix} A & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix})

$A = {\left. {\left( {\matrix{ {3{x^2} + a} & 1 \cr 1 & { - 1} \cr } } \right)} \right|_{(x* = 0,y* = 0)}} = \left( {\matrix{ a & 1 \cr 1 & { - 1} \cr } } \right)$

was du vermutlich auch hast. Übrigens, hast du die Notation geändert von $a \to \alpha$ ?

Also die Determinante, $\Delta$ , und verfolgen, $\tau$ , werden von gegeben $-(a + 1)$ Und, $a - 1$ , bzw.

Wie Sie wissen, aber nur damit wir auf derselben Seite sind, wird die Klassifizierung eines bestimmten Fixpunkts durch die Werte von bestimmt $\Delta$ Und $\tau$ , für einen gegebenen Wert von $a$ . Wie gesagt, mit $a<-1$ , $\Delta>0$ , also ist der Fixpunkt ein stabiler Knoten, weil ${\tau ^2} - 4\Delta> 0$ mit $\tau<0$ , und für $a>-1$ , Sie haben seit dem einen Sattelknoten $\Delta<0$ .

Für $a=-1$ (vorausgesetzt, bis $\alpha$ du meintest $a$ ) wir haben $\Delta = 0$ , was signalisiert, dass Sie sich bei a befinden bifurcation point, was bedeutet, dass die topologische Struktur des Phasendiagramms bei diesem Wert von übergeht $a$ . In Ihrem Fall erfolgt der Übergang von einem stabilen Knoten zu einem Sattelknoten.

Sie können sich davon in Mathematica visuell überzeugen, indem Sie Folgendes zeichnen:

PlotVectorField[{a x + y + x^3, x - y}, {x, -L , L}, {y, -L, L}, 
 Axes -> True]

Für geeignet gewählte Werte der Parameter gilt $a$ Und $L$ .

Es gibt Konventionen zur Klassifizierung der verschiedenen Arten von Bifurkationen, die auftreten können, z. B. Sattelknoten, transkritisch, Mistgabel, kritisch, Hopf, transkritisch usw. Siehe z. B. Strogatz für weitere Diskussionen über die Klassifikationen und insbesondere zu Entdecken Sie die Art des Bifurkationspunkts, den Sie in Ihrem System haben.

Hoffe das hilft.

Danke @roybatty! Übrigens, lassen Sie mich die Mehrdeutigkeit von a und \alpha korrigieren!
Ich habe gerade deine zweite Frage gesehen, also ja, du warst auf dem richtigen Weg!
Bitte nur noch eine Klarstellung, bevor ich Ihre Antwort akzeptiere: Ist das nicht der Gleichgewichtspunkt? $(0,0)$ für $a<-1$ eher ein stabiler Knoten (Senke) als ein Mittelknoten? Wie auch in den Phasenportraits dargestellt ? Danke!
Ja, Ihr Recht, wenn $\Delta>0$ dann sind die Eigenwerte entweder reell mit gleichem Vorzeichen (Knoten) oder komplex konjugiert (Spiralen oder Mittelpunkte). Knoten erfüllen, ${\tau ^2} - 4\Delta > 0$ , und in Ihrem Fall ist es seitdem stabil $\tau < 0$ . Ich habe gerade meine Antwort bearbeitet, um das zu korrigieren.

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Bruce Dean

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