H-Theorem und Boltzmann-Gleichung angewendet auf die Boltzmann-Verteilung

Question

Diffeomorphismus

Unter Verwendung der Boltzmann-Gleichung:

\frac{D H}{D T} = \int_{0}^{\infty} D R \int_{0}^{\infty} D S W (R, S) [P_{R} - P_{S}] [\ln P_{R} - \ln P_{S}],

$\frac{dH}{dt} = \int_0^{\infty} dr \int_0^{\infty} ds W(r,s)[p_r - p_s][\ln{p_r} - \ln{p_s}],$

und davon ausgehen $p_r = e^{-\beta r}$ , so sieht die Gleichung aus

\frac{D H}{D T} = β \int_{0}^{\infty} D R \int_{0}^{\infty} D S W (R, S) [e^{- β R} - e^{- β S}] [S - R] .

$\frac{dH}{dt} = \beta \int_0^{\infty} dr \int_0^{\infty} ds W(r,s)[e^{-\beta r} - e^{-\beta s}][s - r].$

Ich möchte das beweisen, solange die Übergangsrate der detaillierten Bilanz entspricht

W (R, S) = W (S, R),

$W(r,s) = W(s,r),$ Das System befindet sich im Gleichgewicht (was bedeutet, dass der gesamte Ausdruck gleich Null ist).

Allerdings wenn ich davon ausgehe $W(r,s)=1$ , scheint das Integral nicht zu konvergieren

Nur zum Kichern versuchte ich es $W(r,s)=e^{-(r-s)^2}$ , wodurch das Integral konvergiert, aber eindeutig nicht Null ist

Irgendeine Idee, welcher Schritt hier erforderlich ist?

Nicht sicher, was Sie hier tun. Wie geschrieben,

r

$r$ Und

s

$s$ muss sich auf Paare beziehen. Dann

p_{r} = f_{1} f_{2}

$p_r=f_1f_2$ Und

p_{s} = f_{3} f_{4}

$p_s=f_3f_4$ , und im Gleichgewicht

f = e^{- β ϵ}

$f=e^{-\beta\epsilon}$ die Bedingung

p_{r} = p_{s}

$p_r=p_s$ ist nur Energieerhaltung.

Nicht sicher, was Sie hier tun. Wie geschrieben, $r$ Und $s$ muss sich auf Paare beziehen. Dann $p_r=f_1f_2$ Und $p_s=f_3f_4$ , und im Gleichgewicht $f=e^{-\beta\epsilon}$ die Bedingung $p_r=p_s$ ist nur Energieerhaltung.

lurscher · Answer 1

Ihnen fehlt eine Bedingung, die garantiert, dass die $W(r,s)$ Funktion erhält die Wahrscheinlichkeit:

\frac{D P_{ich}}{D T} = \sum_{J} W_{ich J} P_{J}

$\frac{dP_i}{dt}=\sum_j{W_{ij} P_j}$

\frac{D}{D T} (\sum_{ich} P_{ich}) = \sum_{ich J} W_{ich J} P_{J} = \sum_{J} P_{J} (\sum_{ich} W_{ich J})

$\frac{d}{dt}( \sum_i{ P_i}) = \sum_{ij}{W_{ij} P_j} = \sum_j{P_j (\sum_i{W_{ij}})}$

Der letzte Ausdruck muss für jede Verteilung Null sein, was bedeutet, dass die $W_{ij}$ befriedigen muss

\sum_{ich} W_{ich J} = 0

$\sum_i{W_{ij}} = 0$

In Ihrer Kontinuumsgrenze bedeutet dies Folgendes

\int_{0}^{\infty} D S W (R, S) = 0

$\int_0^{\infty} ds W(r,s) = 0$

Keine Ihrer Beispielübergangsfunktionen erfüllt diese Einschränkung, deshalb erhalten Sie absurde Ergebnisse