Entropie einer langen Molekülkette in Bezug auf ihre Länge

Betrachten Sie eine (sehr lange) eindimensionale Kette von N Moleküle, die sich in beiden Energiezuständen befinden können a oder β . Die Konfigurationen haben Länge A oder B bzw.

Zeigen Sie, dass die Entropie der Kette von der Länge abhängt L der Kette ist

S ( L ) = N ln ⁡ N − N a ln ⁡ N a − N β ln ⁡ N β
Wo N a = ( L − B N ) / ( A − B ) ist die Anzahl der Moleküle im Zustand a Und N β = ( L − A N ) / ( B − A ) ist die Anzahl der Moleküle im Zustand β . (Verwenden Sie die Sterlings-Formel.)

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Ich denke schon seit einiger Zeit über diese Übung nach und kann die Länge der Kette und die Anzahl der Mikrozustände nicht kombinieren.

Wenn wir haben N a Moleküle im Zustand a Und N β im Staat β wir haben

Ω ( N a , N β , N ) = N ! N a ! N β !
Mikrozustände. Aber ich weiß nicht, wie ich davon zu einer Entropie kommen soll, die von der Länge der gesamten Kette abhängt.

Meine Vermutung ist, dass ich nur ersetzen muss N a Und N β durch die oben angegebenen Ausdrücke, aber ich verstehe nicht wirklich, warum sie die Anzahl der Moleküle im Zustand zählen a Und β bzw. Vielleicht kann mir jemand dabei helfen? Danke!

Die Gesamtenergie des Moleküls sollte festgelegt werden. Das bedeutet, dass n_alpha und n_beta konstant gehalten werden. Sie können leicht sehen, dass jede Länge ein eindeutiges n_alpha und n_beta hat, sodass die Entropie tatsächlich als Funktion von L genommen werden kann. Im Allgemeinen, wenn es zusätzliche Zustände Gamma, Delta usw. und n_Gamma, n_delta usw. gäbe, würde diese Logik nicht unbedingt funktionieren, könnte man haben, dass die gleiche Länge durch Zustände mit unterschiedlicher Gesamtenergie realisiert werden könnte. Im Allgemeinen ist die Entropie für ein geschlossenes System also eine Funktion der Energie, in diesem Fall können Sie sie als Funktion der Länge L annehmen.
Okay danke. Ihre Antwort hat mir wirklich geholfen zu verstehen, warum es in Ordnung ist anzunehmen, dass die Kette eine feste Länge hat. Ich habe mich immer wieder gefragt, warum wir überhaupt davon ausgehen können, dass n_alpha und n_beta feste Zahlen sind! Was ich aber immer noch nicht verstehe ist, warum sich die Anzahl der Moleküle in jedem Zustand mit den erwähnten Formeln für n_alpha und n_beta berechnen lässt.

Antworten (1)

Da hast du den Ausdruck Ω Ihre Arbeit ist fast getan. Denken Sie zunächst daran, dass die Entropie für ein mikrokanonisches (feste Energie) System im thermischen Gleichgewicht durch die sehr berühmte Boltzmann-Formel gegeben ist:

S = k B l N ( Ω )

Verwenden Sie dann einfach die Näherung von Stirling zur Bewertung l N ( N ! ) ≈ N l N ( N ) − N (Weil N >> 1 , dh sehr lange Kette). Vereinfachen Sie die Verwendung N = N a + N β und fertig.

Ausdrücken N a Und N β als Funktion von L , erinnere dich daran L = N a A + N β B Und N = N a + N β (Löse das System).

Wow, das ist viel einfacher als ich dachte. Ich habe nicht einmal daran gedacht, die Bedingungen dafür zu stellen N a Und N β in ein lineares System. Vielen Dank!
Entropie einer langen Molekülkette in Bezug auf ihre Länge
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