Was ist die Definition von Entropie im mikrokanonischen Ensemble?

Question

Was ist die Definition von Entropie im mikrokanonischen Ensemble?

sigsegv

Ich gehe das Buch Statistical Mechanics von Kerson Huang durch und er definiert die Entropie als

S (E, v) = k_{B} Protokoll Γ (E)

$S(E, V) = k_B \log \Gamma(E)$ Wo

Γ (E)

$\Gamma(E)$ ist das Volumen im Phasenraum, das vom mikrokanonischen Ensemble eingenommen wird,

Γ (E) = \int_{E < H (P, Q) < E + Δ} D^{3 N} P D^{3 N} Q

$\Gamma(E) = \int_{E<\mathcal{H}(p,q)<E+\Delta}\ d^{3N}p\ d^{3N}q$ Alle anderen Bücher, die ich über statistische Mechanik studiert habe, definieren Entropie als

S = k_{B} Protokoll Ω

$S = k_B \log\Omega$ Wo

Ω

$\Omega$ ist definiert als die Anzahl der zugänglichen Mikrozustände, die der gegebenen Energie zwischen entsprechen

E

$E$ Und

E + Δ

$E+\Delta$ . Mein Verständnis ist, dass diese beiden Definitionen nur dann äquivalent sind, wenn

Γ (E) = \int_{E < H (P, Q) < E + Δ} D^{3 N} P D^{3 N} Q ρ (Q, P, T)

$\Gamma(E) = \int_{E<\mathcal{H}(p,q)<E+\Delta}\ d^{3N}p\ d^{3N}q\ \rho(q, p, t)$ Wo

ρ

$\rho$ ist die Dichtefunktion und daher

d^{3 N} p d^{3 N} q ρ (q, p, t)

$d^{3N}p\ d^{3N}q\ \rho(q, p, t)$ repräsentiert die Gesamtzahl der zugänglichen Mikrozustände im Phasenraumvolumen

d^{3 N} p d^{3 N} q

$d^{3N}p\ d^{3N}q$ . Erklären Sie also bitte, warum sich diese beiden scheinbar unterschiedlichen Definitionen nicht widersprechen. Was vermisse ich?

Jan Velenik

Kein Widerspruch:

ρ (q, p)

$\rho(q,p)$ ist für alle Konfigurationen mit Energie im Intervall gleich einer positiven Konstante und für die anderen gleich Null. Siehe das "Postulat gleicher a priori Wahrscheinlichkeit", Gleichung (6.7) im Buch (zweite Auflage). Dieses Postulat definiert das mikrokanonische Ensemble.

sigsegv

@ Yvan, wenn

ρ

$\rho$ eine Konstante ist, dann der Wert von

Γ (E)

$\Gamma(E)$ wäre proportional zur Anzahl der zugänglichen Mikrozustände, nicht gleich.

Jan Velenik

Egal, die thermodynamische Entropie ist nur bis auf eine Konstante definiert.

Jan Velenik

(Außerdem, was meinen Sie eigentlich mit „der Anzahl zugänglicher Mikrozustände“, wenn Sie ein klassisches System diskutieren? Die Energiehülle besteht aus einem Kontinuum unterschiedlicher Mikrozustände.)

sigsegv

Die Anzahl der zugänglichen Mikrozustände ist die Gesamtzahl der Punkte im Phasenraum, die im Volumen eingeschlossen sind

E

$E$ Und

E + Δ

$E+\Delta$ . Ich überlegte also, je höher das Volumen, desto größer die Anzahl der Punkte, und die Anzahl der Punkte sollte die Dichte der Punkte mal dem Volumen sein.

Jan Velenik

Die Energiehülle ist ein Kontinuum: Sie enthält unendlich viele Punkte. Natürlich könnten Sie sich dafür entscheiden, den Phasenraum zu diskretisieren (d. h. kleine Zellen einzuführen), aber die von Ihnen gewählte Skala wäre völlig willkürlich (zumindest in einem klassischen System). Auch hier kommt man nicht umhin, eine willkürliche multiplikative Konstante einzuführen (die nach dem Logarithmieren zu einer harmlosen additiven Konstante wird).

sigsegv

Oh, deshalb haben wir uns dafür entschieden, den Phasenraum in kleine Volumenstücke zu unterteilen

δ p δ q = h_{0}

$\delta p\delta q = h_0$ , Wo

h_{0}

$h_0$ ist klein. Damit ist alles klar. Danke schön.

Antworten (1)

Was ist die Definition von Entropie im mikrokanonischen Ensemble?

Kein Widerspruch: $\rho(q,p)$ ist für alle Konfigurationen mit Energie im Intervall gleich einer positiven Konstante und für die anderen gleich Null. Siehe das "Postulat gleicher a priori Wahrscheinlichkeit", Gleichung (6.7) im Buch (zweite Auflage). Dieses Postulat definiert das mikrokanonische Ensemble.
@ Yvan, wenn $\rho$ eine Konstante ist, dann der Wert von $\Gamma(E)$ wäre proportional zur Anzahl der zugänglichen Mikrozustände, nicht gleich.
Egal, die thermodynamische Entropie ist nur bis auf eine Konstante definiert.
(Außerdem, was meinen Sie eigentlich mit „der Anzahl zugänglicher Mikrozustände“, wenn Sie ein klassisches System diskutieren? Die Energiehülle besteht aus einem Kontinuum unterschiedlicher Mikrozustände.)
Die Anzahl der zugänglichen Mikrozustände ist die Gesamtzahl der Punkte im Phasenraum, die im Volumen eingeschlossen sind $E$ Und $E+\Delta$ . Ich überlegte also, je höher das Volumen, desto größer die Anzahl der Punkte, und die Anzahl der Punkte sollte die Dichte der Punkte mal dem Volumen sein.
Die Energiehülle ist ein Kontinuum: Sie enthält unendlich viele Punkte. Natürlich könnten Sie sich dafür entscheiden, den Phasenraum zu diskretisieren (d. h. kleine Zellen einzuführen), aber die von Ihnen gewählte Skala wäre völlig willkürlich (zumindest in einem klassischen System). Auch hier kommt man nicht umhin, eine willkürliche multiplikative Konstante einzuführen (die nach dem Logarithmieren zu einer harmlosen additiven Konstante wird).
Oh, deshalb haben wir uns dafür entschieden, den Phasenraum in kleine Volumenstücke zu unterteilen $\delta p\delta q = h_0$ , Wo $h_0$ ist klein. Damit ist alles klar. Danke schön.

Zitrone · Answer 1

Die Dichte $\rho$ würde die Anzahl der Mikrozustände innerhalb des Volumens zählen $d^{3N}p\,d^{3N}q$ die die Energiebeschränkung erfüllt $E<\mathcal{H}<E+\Delta$ . Also hättest du eigentlich:

\begin{aligned} Γ (E) & = \int_{E < H < E + Δ} D^{3 N} P D^{3 N} Q \\ = \int ρ D^{3 N} P D^{3 N} Q \end{aligned}

$\begin{align} \Gamma(E) &= \int_{E<\mathcal{H}<E+\Delta} d^{3N}p\,d^{3N}q \\ &= \int \rho\,d^{3N}p\,d^{3N}q \end{align}$

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Jan Velenik

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