Wie kann man Temperaturen verschiedener Freiheitsgrade verstehen?

Question

Wie kann man Temperaturen verschiedener Freiheitsgrade verstehen?

Nikolaj-K

Also lese ich dieses Buch , in dem es nach dem Vorwort und vor den Modellen einen Abschnitt namens Allgemeine Begriffe und wesentliche Größen gibt , der einige Dinge vorstellt, die ich nicht verstehe. Sie betrachten unterschiedliche Temperaturen eines Systems, insbesondere in einem Nicht- oder nahen Gleichgewichtszustand.

Ich zitiere zunächst direkt (Seiten 17, 18, Abschnitt „VI Teilchenverteilung über Geschwindigkeiten und Energie: Temperaturen unterschiedlicher Freiheitsgrade“):

"Die Maxwellsche Verteilung über die Translationsenergie $\epsilon$ der Teilchenbewegung wird dargestellt durch $F (ϵ) = . . .$ $f(\epsilon)=\ ...$ Die Boltzmann-Verteilung für die Bevölkerung $N_i$ des $i$ Energieniveau relativ zur Bevölkerung $N_0$ des Bodenenergieniveaus $E_0$ Ist $\frac{N_{ich}}{N_{0}} = \frac{G_{ich}}{G_{0}} e^{(- \frac{E_{ich} - E_{0}}{k T})}$ $\tfrac{N_i}{N_0}=\tfrac{g_i}{g_0}e^\left({-\tfrac{E_i-E_0}{k T}}\right)$ und relativ zur Gesamtpartikelzahl $N$ der angegebenen Art ist $\frac{N_{ich}}{N} = \frac{G_{ich} e^{(- \frac{E_{ich}}{k T})}}{Q}, Q = \sum G_{ich} e^{(- \frac{E_{ich}}{k T})} .$ $\tfrac{N_i}{N}=\tfrac{g_ie^\left({-\tfrac{E_i}{k T}}\right)}{Q},\ \ \ \ Q=\sum g_ie^\left({-\tfrac{E_i}{k T}}\right).$ Maxwellsche und Boltzmann-Verteilungen bestimmen die Temperatur des betrachteten Systems. Im Gleichgewichtssystem sind die Temperaturen verschiedener Freiheitsgrade (translational, rotatorisch, schwingend, elektronisch) gleich. In dem Nichtgleichgewichtssystem, das die Teilsysteme der angegebenen Freiheitsgrade umfasst, fehlt die einzelne Temperatur. Wenn in irgendeinem Subsystem die Geschwindigkeitsverteilung oder die Energieverteilung durch Maxwellsche oder Boltzmann-Funktionen angenähert werden kann, bestimmen diese Funktionen die Temperaturen der entsprechenden Freiheitsgrade.
- Translationstemperatur (Gastemperatur oder Temperatur der Translationsfreiheitsgrade): Dies ist der Parameter der kanonischen Gibbs-Verteilung von Teilchen über Geschwindigkeiten und Energie der Translationsbewegung von Teilchen. Es wird durch die Quantität repräsentiert $T$ in der Maxwellschen Verteilung, wie zuvor beschrieben.
- Rotationstemperatur (Temperatur der Rotationsfreiheitsgrade): Dies ist der Parameter der kanonischen Gibbs-Verteilung von Molekülen über der Rotationsenergie. Sie wird durch die Menge dargestellt $T_r\equiv T_R$ in der Boltzmann-Verteilung für eine Population $N^r_i$ des $i$ Rotationsebene: $\frac{N_{ich}^{R}}{N_{0}^{R}} = \frac{G_{ich}^{R}}{G_{0}^{R}} e^{(- \frac{E_{ich}^{R}}{k T_{R}})} \frac{N_{ich}^{R}}{N^{R}} = \frac{G_{ich}^{R} e^{(- \frac{E_{ich}^{R}}{k T_{R}})}}{Q (T_{R})} .$ $\tfrac{N_i^r}{N_0^r}=\tfrac{g_i^r}{g_0^r}e^\left({-\frac{E_i^r}{k T_r}}\right)\tfrac{N^r_i}{N^r} = \tfrac{g_i^r e^\left({-\frac{E_i^r}{k T_r}}\right)}{Q(T_r)}.$
- Schwingungstemperatur : ..."

Daran schließen sich dann auch mehrere Partitionsfunktionen an $Q_i$ , mit $i=t,r,v,e$ und die Formeln

ϵ = \sum ϵ_{k}, Q = \prod Q_{k} .

$\epsilon=\sum\epsilon_k,\ \ \ \ Q=\prod Q_k.$

Wikipedia kennt solche Mengen ( $Q_t$ , $Q_v$ , $Q_r$ , $T_v$ , $T_r$ ), erklärt aber nicht viel darüber.

Jetzt könnte ich natürlich jeder Zusammensetzung von Größen, die zufällig Energie als Einheit haben, einfach den Namen Temperatur geben, aber ich habe ein Problem mit der Möglichkeit, so etwas wie eine neue Temperatur (und die eindeutige Teilungsfunktion) zu definieren sie sollen im totalen Gleichgewicht zusammenfallen.

Besonders aus dem mikrokanonischen Ensemble betrachtet, definiert man Temperatur

\frac{1}{T} = \frac{\partial S (E, v)}{\partial E},

$\frac{1}{T}=\frac{\partial S(E,V )}{\partial E},$ die als Variable durch eine einzige Zahl festgelegt ist - der Fluch der Nichtgleichgewichtsthermodynamik. Angenommen, ich zerlege mein System in Teile, wie oben vorgeschlagen, und es stellt sich tatsächlich heraus, dass diese Aspekte des Problems durch die Verteilung eines Gleichgewichtssystems (Maxwell, Boltzmann, Gibbs) beschreibbar sind. Welche Temperatur hat das Subsystem und wie komme ich darauf? Es ist geplant, Objekte zu definieren, die die Variablen generieren

T_{k}

$T_k$ , wie

T

$T$ ist kanonisch zu

E

$E$ im Sinne der oben angegebenen Entropieformel? Die Zählung möglicher Konfigurationen (wie über Schwingungsfreiheitsgraden) und damit der zugehörigen Entropiefunktion sollte stark von der Art des Freiheitsgrades abhängen. Und dann würde es die funktionalen Abhängigkeiten des Rests des Modells nicht spüren. Warum sollten die Werte für unterschiedlich sein

T_{k}

$T_k$ Überlappung für die perfekte Gleichgewichtsgrenze? Besonders in Bezug auf Translationsgrade in der Boltzmann-Theorie, wenn Sie räumlich variierende Temperaturen berücksichtigen

θ (\vec{x})

$\theta(\vec x)$ . Was hätten sie mit einer aus der Zählung von Schwingungsfreiheitsgraden abgeleiteten Temperatur gemeinsam? Gibt es ein Konzept einer Ableitung in Bezug auf nur einen Aspekt der Energie (Translation / Kintec, Rotation, Vibration, ...). Die Zustandssumme scheint schließlich von diesen getrennten Energien abzuhängen. Die berechneten Ausdrücke auf Wikipedia sehen sehr unterschiedlich aus. Ich sehe auch nicht, wie in diesem die Faktoren begrenzen

\frac{1}{Q (T_{k})}

$\frac{1}{Q(T_k)}$ würde sich plötzlich zu einer großen Partitionsfunktion verbinden? Wie funktioniert diese Partitionierung des Systems überhaupt?

Ich habe auch ein Problem damit, wie ich die unterschiedlichen Temperaturen aus der Partitionsfunktion bekomme. In der Praxis kann ich eine (empirische) Zustandsgleichung lösen $pV=NkT$ für die Temperatur, wenn ich weiß $p,V$ Und $N$ . Aber wie kann ich die verschiedenen Temperaturen für den zugehörigen allgemeineren Ausdruck in der statistischen Mechanik berechnen, wenn ihre Kenntnis eine funktionale Abhängigkeit der Temperatur eines Bades impliziert?

Antworten (3)

Wie kann man Temperaturen verschiedener Freiheitsgrade verstehen?

Maxim Zholudev · Answer 1

Die Definition der Temperatur durch Maxwellsche und Boltzmann-Verteilungen bringt gewisse Probleme in der Quantenmechanik mit sich.

In der Thermodynamik wird die Temperatur normalerweise durch die Ableitung der Entropie definiert, wie Sie sagen:

\frac{1}{T} = \frac{\partial S (E, v)}{\partial E} . (1)

$\frac{1}{T} = \frac{\partial S(E,\mathbf{V})}{\partial E}. \qquad (1)$

Die Aufteilung des Systems in verschiedene Teile (oder verschiedene Freiheitsgrade) kann aus der mikrokanonischen Verteilung verstanden werden. Das System habe einen Hamilton-Operator der folgenden Form:

H = H (Q, P, v);

$H = H(\mathbf{q}, \mathbf{p}, \mathbf{V});$ Wo

q

$\mathbf{q}$ Und

p

$\mathbf{p}$ sind die Vektoren mikroskopischer verallgemeinerter Koordinaten bzw. Impulse und

V

$\mathbf{V}$ ist der Vektor der makroskopischen Parameter, die im Gleichgewicht (im Mittel) konstant sind.

Die Dimension von $\mathbf{q}$ Und $\mathbf{p}$ ist die Anzahl der Freiheitsgrade des Systems. Beachten Sie, dass Freiheitsgrade des gleichen Typs (z. B. Verschiebung entlang $x$ Achse) verschiedener Partikel sind unterschiedliche Freiheitsgrade. Der Satz von $(\mathbf{q},\mathbf{p})$ Paare ist der Phasenraum des Systems.

Die Verteilungsfunktion für das System ist

F (Q, P) = \frac{δ (E - H (Q, P, v))}{Ω (E, v)};

$f(\mathbf{q},\mathbf{p}) = \frac{ \delta\bigl( E - H(\mathbf{q}, \mathbf{p}, \mathbf{V}) \bigr) }{\Omega(E, \mathbf{V})};$ Wo

E

$E$ ist die innere Energie und

Ω (E, V)

$\Omega(E, \mathbf{V})$ ist die Phasendichte der Zustände bzw. die Anzahl der zugänglichen mikroskopischen Zustände gegeben

E

$E$ Und

V

$\mathbf{V}$ :

Ω (E, v) = \int δ (E - H (Q, P, v)) D Q D P .

$\Omega(E, \mathbf{V}) = \int \delta\bigl( E - H(\mathbf{q}, \mathbf{p}, \mathbf{V}) \bigr) d\mathbf{q} d\mathbf{p}.$ Die Entropie ist

S (E, v) = \ln Ω (E, v)

$S(E, \mathbf{V}) = \ln \Omega(E, \mathbf{V})$

Temperatur eines Teilsystems

Lassen Sie das System aus zwei unabhängigen (nicht interagierenden) Teilsystemen bestehen. Dann

Q = (Q_{1}, Q_{2}); P = (P_{1}, Q_{2});

$\mathbf{q} = (\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2); \quad \mathbf{p} = (\mathbf{p}_1, \mathbf{q}_2);$

H (Q, P, v) = H_{1} (Q_{1}, P_{1}, v) + H_{2} (Q_{2}, P_{2}, v) . (2)

$H(\mathbf{q}, \mathbf{p}, \mathbf{V}) = H_1(\mathbf{q}_1, \mathbf{p}_1, \mathbf{V}) + H_2(\mathbf{q}_2, \mathbf{p}_2, \mathbf{V}). \qquad (2)$

Hinweis:
Die Subsysteme müssen nicht zwingend räumlich getrennt werden. Sie müssen nicht einmal zwingend aus verschiedenen Teilchen bestehen. Die einzige Voraussetzung ist, dass der Hamiltonoperator die Form (2) haben muss. Wir können alle Translationskoordinaten zu setzen $\mathbf{q}_1$ , Rotation zu $\mathbf{q}_2$ , oszillierend zu $\mathbf{q}_3$ usw. Wenn die Energieübertragung (Wechselwirkung) zwischen den Subsystemen während einer gewissen Zeitspanne vernachlässigbar ist, dann ist Ausdruck (2) für diese Zeitspanne korrekt.

Wir können Verteilungsfunktionen für jedes Subsystem einführen:

F_{ich} (Q_{ich}, P_{ich}) = \frac{δ (E_{ich} - H_{ich} (Q_{ich}, P_{ich}, v))}{Ω_{ich} (E_{ich}, v)};

$f_i(\mathbf{q}_i,\mathbf{p}_i) = \frac{ \delta\bigl( E_i - H_i(\mathbf{q}_i, \mathbf{p}_i, \mathbf{V}) \bigr) }{\Omega_i(E_i, \mathbf{V})};$ Wo

E_{i}

$E_i$ ist die innere Energie des Subsystems.

Die Entropie des Teilsystems ist dann

S_{ich} (E_{ich}, v) = \ln Ω_{ich} (E_{ich}, v)

$S_i(E_i, \mathbf{V}) = \ln \Omega_i(E_i, \mathbf{V})$ und die Temperatur ist

T_{ich} = {(\frac{\partial S_{ich} (E_{ich}, v)}{\partial E_{ich}})}^{- 1} (3)

$T_i = \left( \frac{\partial S_i(E_i, \mathbf{V})}{\partial E_i} \right)^{-1} \qquad (3)$ Hier ist die Definition der Temperatur des Teilsystems (Freiheitsgrad).

Temperaturen im Gleichgewicht

Da die Subsysteme unabhängig sind, ist die Verteilungsfunktion des gesamten Systems das Produkt:

F (Q, P) = F_{1} (Q_{1}, P_{1}) F_{2} (Q_{2}, P_{2});

$f(\mathbf{q},\mathbf{p}) = f_1(\mathbf{q}_1,\mathbf{p}_1)f_2(\mathbf{q}_2,\mathbf{p}_2);$ und die Gesamtzahl der zugänglichen Zustände ist:

Ω (E_{1}, E_{2}, v) = Ω_{1} (E_{1}, v) Ω_{2} (E_{2}, v) .

$\Omega(E_1, E_2, \mathbf{V}) = \Omega_1(E_1, \mathbf{V})\Omega_2(E_2, \mathbf{V}).$ Daher ist die Gesamtentropie

S (E_{1}, E_{2}, v) = S_{1} (E_{1}, v) + S_{2} (E_{2}, v) (4)

$S(E_1, E_2, \mathbf{V}) = S_1(E_1, \mathbf{V}) + S_2(E_2, \mathbf{V}) \qquad (4)$

Bei einer Wechselwirkung zwischen den Subsystemen wird die innere Energie von einem System auf das andere übertragen, bis das Gleichgewicht erreicht ist. Dabei ist die Gesamtenergie konstant:

E = E_{1} + E_{2} = konst

$E = E_1 + E_2 = \text{const}$ Die Energien der Teilsysteme ändern sich mit der Zeit und haben im Gleichgewicht bestimmte Werte. Nach dem 2. Hauptsatz der Thermodynamik ist die Gesamtentropie in diesem Zustand maximal. Der Zustand des Extremums ist

\frac{\partial S (E_{1}, E_{2} (E, E_{1}), v)}{\partial E_{1}} = 0.

$\frac{\partial S(E_1, E_2(E, E_1), \mathbf{V})}{\partial E_1} = 0.$ Aus (4) erhalten wir:

\frac{\partial S (E_{1}, E_{2} (E, E_{1}), v)}{\partial E_{1}} = \frac{\partial S_{1} (E_{1}, v)}{\partial E_{1}} + \frac{\partial S_{2} (E_{2}, v)}{\partial E_{2}} \frac{\partial E_{1}}{\partial E_{2}} =

$\frac{\partial S(E_1, E_2(E, E_1), \mathbf{V})}{\partial E_1} = \frac{\partial S_1(E_1, \mathbf{V})}{\partial E_1} + \frac{\partial S_2(E_2, \mathbf{V})}{\partial E_2}\frac{\partial E_1}{\partial E_2} =$

\frac{1}{T_{1}} - \frac{1}{T_{2}} = 0

$\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} = 0$ oder

T_{1} = T_{2} .

$T_1 = T_2.$ Man kann beweisen, dass diese Temperaturen gleich sind

T

$T$ definiert als (1).

+1: Ja, das ist die richtige Antwort. Ich wollte meine löschen, aber die Idee der additiven Temperatur ist der Verwirrung des OP nahe.

Edgar Bonnet · Answer 2

Edgar Bonnet

Im Prinzip ist die Temperatur nur im Gleichgewicht definiert. In manchen Fällen kann es jedoch vorkommen, dass ein System aus dem Gleichgewicht geraten ist und dennoch einige seiner Freiheitsgrade quasi im Gleichgewicht sind. Betrachten wir zum Beispiel ein Metall bei niedriger Temperatur, wo die Elektron-Phonon-Kopplung klein ist und die Elektron-Elektron- und Phonon-Phonon-Kopplungen groß sind. Wenn Sie das Elektronenbad erhitzen (z. B. durch Joule-Effekt), können Sie in eine Situation geraten, in der:

zwischen allen elektronischen Freiheitsgraden herrscht (fast) ein Gleichgewicht
es besteht auch ein Quasi-Gleichgewicht zwischen allen Schwingungsfreiheitsgraden
Elektronen- und Phononenbad stehen nicht im Gleichgewicht.

In diesem Fall können Sie das System als einen Satz von zwei ungekoppelten (oder schwach gekoppelten) Subsystemen annähern: die Elektronen und die Phononen. Jedes Subsystem befindet sich im Gleichgewicht und hat daher eine wohldefinierte Temperatur, jedoch befindet sich das gesamte System nicht im Gleichgewicht und Wärme fließt vom heißeren zum kälteren. Lässt man es entspannt angehen, gleicht dieser Wärmestrom schließlich beide Temperaturen an, dann ist das globale Gleichgewicht erreicht.

Nikolaj-K

Danke für die Antwort, obwohl sie mir etwas zu informell ist, um sie zu verstehen. Wenn die beiden Aspekte des Systems gekoppelt sind, verstehe ich nicht die Vorstellung von zwei Bädern: Sagen wir, sie haben Temperatur

T_{e}, T_{p h}

$T_e, T_{ph}$ (sind das nur Nummern von außen?). Diese Bäder wirken sich auf die Elektronen- und Photonen-Subsysteme aus und daher "ist jedes Subsystem im Gleichgewicht ... hat eine genau definierte Temperatur ... dennoch ist das gesamte System nicht im Gleichgewicht und es fließt Wärme". Wenn sich das System entspannt und ich mich einer einzelnen Temperatur nähere, welche Temperatur ist das? Ich meine, da die Bäder noch da sind

T_{e}, T_{p h}

$T_e, T_{ph}$ .

Edgar Bonnet

„Diese Bäder wirken sich auf die Subsysteme Elektronen und Photonen aus“. Nein, die Bäder sind die Subsysteme Elektron und Phonon (nicht Photon). „Wenn sich das System entspannt und ich mich einer einzigen Temperatur nähere, welche Temperatur ist das?“ Die Elektronen verlieren Wärme, also

T_{e}

$T_e$ nimmt ab. Die Phononen gewinnen also Wärme

T_{p h}

$T_{ph}$ erhöht sich. Das endgültige

T_{e} = T_{p h}

$T_e = T_{ph}$ ein Mittelwert der beiden Anfangstemperaturen, gewichtet mit den Wärmekapazitäten der Elektronen- und Phononen-Teilsysteme (unter Vernachlässigung der Temperaturabhängigkeit der Wärmekapazitäten).

Nikolaj-K

Sie sagen also, dass es eine Energieübertragung gibt, bis sich die Subsysteme mit unterschiedlichen Arten von Energieabhängigkeiten bezüglich der Temperaturen ausgleichen. Dies entspricht dann benachbarten Systemen unterschiedlicher Temperatur. Warum nennst du sie Bäder, wenn es nichts anderes gibt? Normalerweise würde ich mir ein Bad vorstellen, das meinem interessierenden System eine konstante Temperatur (wie durch den Joule-Effekt) auferlegt, nicht als das System selbst. Und im Gleichgewicht fällt die Temperatur errechnet aus

Q

$Q$ oder

S_{t o t a l} (E)

$S_{total}(E)$ gleich dem aus der partiellen Partitionsfunktion berechneten

Q_{k}

$Q_k$ oder

S_{k}

$S_k$ wrt einen Aspekt der Energie

E_{k}

$E_k$ ?

Edgar Bonnet

Ja, das entspricht benachbarten Systemen mit unterschiedlichen Temperaturen. Ich nenne sie aus Gewohnheit Bäder, da sie in Bezug auf einen anderen Freiheitsgrad, an dem ich interessiert sein könnte, als Bäder fungieren können (z. B. die Magnetisierung ...). Vielleicht sollte ich das Wort "Bad" nicht verwenden ... Und ja, im Gleichgewicht

S = \sum S_{k}

$S = \sum S_k$ ,

Q = \prod Q_{k}

$Q = \prod Q_k$ Und

T = T_{k}

$T = T_k$ für alle

k

$k$ . Das funktioniert, weil wir die Wechselwirkungen zwischen Subsystemen vernachlässigen. Diese Wechselwirkungen sollten sowieso klein sein, damit die unterschiedlichen Temperaturen Sinn machen.

Nikolaj-K

Sie sagen also, dass der Ansatz "Schreiben Sie die verschiedenen Entropien gemäß den verschiedenen Systemen mit ihren eigenen Freiheitsgraden auf" funktioniert. So bekomme ich

T_{k}

$T_k$ aus

S_{k} (E_{k})

$S_k(E_k)$ . Aber gegeben

E_{k}

$E_k$ Woher kennen wir für das Subsystem die hier vorgestellte Partitionsfunktion? Dh was ist das

\frac{1}{k T}

$\tfrac{1}{kT}$ Begriff in der "Rotationssummenfunktion", die a priori darstellt? In unserem Fall gibt es keine Außentemperatur. Ich verstehe nicht, warum Sie hier das kanonische System-Szenario verwenden würden, das sich mit einer externen Badtemperatur befasst. Wie berechnet man die verschiedenen Temperaturen aus den verschiedenen Zustandssummen?

Edgar Bonnet

Mmm ... verstehe die Frage nicht wirklich. Mir scheint, dass Sie die Temperatur benötigen, um die Zustandssumme zu berechnen. Das kanonische Ensemble ist nicht wirklich geeignet, um ein isoliertes System zu beschreiben, normalerweise sollten Sie das mikrokanonische Ensemble verwenden. Beide Beschreibungen sind jedoch gleichwertig, solange Sie nicht auf Schwankungen achten.

Nikolaj-K

Ja, man könnte rechnen

T_{k}

$T_k$ aus

S_{k} (E_{k})

$S_k(E_k)$ über Ableitung wrt

E_{k}

$E_k$ und dann einfach einstecken

\sum e^{- \frac{E_{k}}{k T_{k}}}

$\sum e^{-\frac{E_k}{kT_k}}$ . Diese Größe ändert sich dann mit der Zeit, da

T_{k}

$T_k$ nähert sich einem Mittelwert des Systems. Aber das unterscheidet sich von der Verteilungsfunktion in der Gleichgewichtsthermodynamik mit Bad , also warum sollte dies hier verwendet werden? Wissen

T_{k}

$T_k$ , du weißt schon alles - darum geht es bei meiner Frage. Aufschreiben der

Q_{k}

$Q_k$ und das Einstecken der berechneten

T_{k}

$T_k$ ist ein totaler Umweg und dann bleibt im Gleichgewicht a

Q

$Q$ des ganzen Systems ohne umgebendes Bad, oder?

Arnold Neumaier

Ein Bad ist einfach die herkömmliche Bezeichnung für alle Freiheitsgrade, an die ein (Teil-)System gekoppelt ist, die in der eigentlichen Beschreibung des Systems unbeachtet bleiben, dieses aber auf sehr schnellen Zeitskalen beeinflussen.

Arnold Neumaier

... oft gehören diese zum Subsystem selbst, werden aber nicht modelliert, da diese Komplexität nicht gewährleistet ist. Schwach wechselwirkende Subsysteme (an ihre eigenen Bäder gekoppelt = vernachlässigter Hochfrequenz-DOF) erreichen lange vor dem Gesamtsystem ein Gleichgewicht. Somit wird jedes Subsystem durch ein kanonisches Ensemble gut beschrieben und hat daher eine gute Temperatur. Aber das Gesamtsystem ist nicht im Gleichgewicht, hat also keine wohldefinierte Temperatur.

Ron Maimon · Answer 3

Diese Terminologie, die das Buch verwendet, ist nicht Standard und nicht gut. Die Beziehung zwischen Energie und Temperatur lässt sich korrekt so ausdrücken, dass bei jeder gegebenen Temperatur die Energien in jedem Modus proportional zur Temperatur sind.

Dann erübrigen sich alle Ihre Fragen. Die Energie eines Rotationsmodus, Vibrationsmodus usw. ist jeweils proportional zur Temperatur, und Sie addieren alle Energien, um die Gesamtenergie im System bei einer bestimmten Temperatur zu erhalten. Sie addieren nicht die Temperaturen der einzelnen Modi, um die „Gesamttemperatur“ zu erhalten, das ist ein absurdes Konzept.

Es gibt eine Anekdote in "Surely Your Joking Mr. Feynman", in der Feynman Lehrbücher für Kalifornien rezensiert, und das Lehrbuchproblem lautet: "Was ist die Gesamttemperatur dieser Sterne?" als Beispiel dafür, wo die Addition in der Wissenschaft nützlich ist. Es scheint, dass nicht nur elementare Bücher dieses bisschen Albernheit enthalten.

Die Energien addieren sich, nicht die Temperaturen. Die Energie bei einer gegebenen Temperatur ist $T$ (in Boltzmann-Einheiten $k_B=1$ ) in jedem harmonischen Oszillator, $T/2$ in jeder Bewegung freier Teilchen und allgemeiner der Durchschnitt über die Verteilung $e^{-H/T}$ über den gesamten Phasenraum für ein beliebiges H(p,q).

EDIT: Das Buch ist nicht dumm! Mein Fehler

Ich verstehe jetzt, worauf das Buch hinaus will – das System kann zwischen verschiedenen Sektoren aus dem Gleichgewicht geraten, aber in jedem Sektor separat im Gleichgewicht sein. In diesem Fall haben Sie eine unterschiedliche Temperatur, die den Translations- / Rotations- / Kernspin unabhängig von den Freiheitsgraden beschreibt. Ihre Verwirrung hat diese im Wesentlichen getrennten Systeme als ein System mit einer additiven Temperatur verwechselt.

Wenn die Rotations- und Translationsbewegung von Molekülen nicht sehr stark interagieren (ich kann mir nicht vorstellen, wann dies jemals passieren würde), können Sie das Rotationssystem und das Translationssystem als zwei getrennte Systeme behandeln, wie zwei getrennte Holzblöcke. Wärme kann von Translation zu Rotation und zurück fließen und das globale Gleichgewicht wiederherstellen, aber dies ist langsamer als der Wärmefluss von Rotation zu Rotation und Translation zu Translation (wiederum kenne ich keine Systeme, die Rotation und Translation auf diese Weise trennen). Dann können Sie eine effektive Beschreibung haben, wo es eine Temperatur gibt, die für die beiden Teile des Systems unterschiedlich ist.

Das ist selten. Normalerweise müssen getrennte Systeme getrennt sein. Das einzige Beispiel für Freiheitsgrade, die physikalisch genug getrennt sind, um ihr eigenes getrenntes Gleichgewicht herzustellen, sind die Freiheitsgrade von Kernspins. Diese können eine separate Temperatur haben (sogar eine negative Temperatur – was ein sehr heißes System bedeutet, bei dem viel Energie wahrscheinlicher ist als wenig), ohne dass Wärme in die elektronischen Komponenten entweicht. Der Grund dafür ist, dass die Kernspin/Elektronenspin-Wechselwirkung gering ist, weil die chemische und die nukleare Skala getrennt sind.

Wie kann man Temperaturen verschiedener Freiheitsgrade verstehen?

Nikolaj-K

Antworten (3)

Maxim Zholudev

Temperatur eines Teilsystems

Temperaturen im Gleichgewicht

Ron Maimon

Edgar Bonnet

Nikolaj-K

Edgar Bonnet

Nikolaj-K

Edgar Bonnet

Nikolaj-K

Edgar Bonnet

Nikolaj-K

Arnold Neumaier

Arnold Neumaier

Ron Maimon

EDIT: Das Buch ist nicht dumm! Mein Fehler

Thermodynamische Definition der Entropie, die reversible Prozesse beschreibt

Nimmt die Entropie immer mit der Temperatur zu? [Duplikat]

Dritter Hauptsatz der Thermodynamik und Entropie

Warum ist keine absolute Temperatur von 0K0K0 K möglich?

Wie viel Energie wird Maxwells Dämon verdienen?

Wie hängt S=klnWS=kln⁡WS = k\ln W mit der Aussage zusammen, dass Wärme nicht von kalten zu heißen Objekten fließt?

Probleme mit der Vorstellung der "Temperatur" eines Kartenspiels

Gilt die Clausius-Aussage des zweiten Hauptsatzes für mikroskopische Phänomene? [Duplikat]

Zahlentheoretisches Schlupfloch erlaubt alternative Definition der Entropie?

Ableitung der Temperatur/Entropie-Beziehung aus der statistischen Mechanik