Zahlentheoretisches Schlupfloch erlaubt alternative Definition der Entropie?

Question

Zahlentheoretisches Schlupfloch erlaubt alternative Definition der Entropie?

Ziehsel

Ein bisschen über den Beitrag

Ich entschuldige mich für den Titel . Ich weiß, es klingt verrückt, aber mir fiel keine Alternative ein, die relevant wäre. Ich weiß, das ist eine "wilde Idee", aber bitte lesen Sie den gesamten Beitrag.

Außerdem war ich mir nicht sicher, ob ich das in der Physik- oder Mathematik-Community posten sollte.

Das Buch, auf das verwiesen wird, ist "Statistical Physics" Tony Guenault.

Definitionen

$A (R) = Anzahl der Primfaktoren von r$ $A(r)=\text{number of prime factors of r}$
Ein Mikrozustand ist per Definition ein Quantenzustand der gesamten Anordnung. (Seite 4)
Verteilung der Zustände: Dies ist eine Reihe von Zahlen $(n_1,n_2,\dots,n_j,\dots)$ ist definiert als die Anzahl der Teilchen im Zustand $j$ , die Energie hat $\epsilon_j$ . Oft, aber nicht immer, ist diese Verteilung eine unendliche Menge; das Etikett $j$ muss alle möglichen Zustände für ein Teilchen durchlaufen. Eine nützliche Abkürzung für den gesamten Satz von Verteilungsnummern $(n_1,n_2,\dots,n_j,\dots)$ ist einfach $\{ n_j \}$ (Seite 6)
Üblicherweise und gerade bei einem großen System, jede Distribution $\{n_j \}$ wird mit einer sehr großen Anzahl von Mikrozuständen verbunden sein. Das nennen wir $t(\{ n_j \})$ (Seite 9)
$t(\{ n_j \})= \frac{N!}{\prod_j n_j !}$ (Seite 10)
$S= k_b \ln(\Omega)$ (Seite 12)
$\Omega = \sum t( \{ n_j \}) \approx t( \{ n_j^* \}) =t^*$ Wo $t( \{ n_j^* \})$ ist die maximale Laufzeit (Seite 16)

Prolog

Auf Seite 13 stand folgendes:

.. Für ein isoliertes System ist ein natürlicher Prozess ... genau derjenige, bei dem die thermodynamische Entropie zunimmt ... Daher eine direkte Beziehung zwischen $S$ Und $\Omega$ vorgeschlagen, und noch dazu ein monoton steigendes ...
Für eine zusammengesetzte Baugruppe, die aus zwei Unterbaugruppen besteht $1$ Und $2$ Sagen wir, wir wissen, dass die ganze Versammlung ist $\Omega$ wird von gegeben $\Omega=\Omega_1 \Omega_2$ . Dies steht im Einklang mit der Beziehung ... ( $S= k_b \ln(\Omega)$ )
... $\Omega=1$ korrespondierend zu $S=0$ , eine natürliche Nullstelle für die Entropie.

Wenn das obige die "rigorose" Anforderung wäre, das dort zu zeigen $S=k_b \ln(\Omega)$

Dann glaube ich, eine andere Funktion gefunden zu haben, die die obigen Kriterien erfüllt:

S = k_{A} A (Ω)

$S= k_a A(\Omega)$

Wo $k_a$ ist eine beliebige Konstante. Zum Beispiel $A(12)= A(2^2 \times 3 ) = 3$

Um Bulletin-Punkt 1 anzusprechen:

A (X) + A (j) = A (X j)

$A(x)+A(y)=A(xy)$

Zum Beispiel:

A (3) + A (33) = A (99) = 3

$A(3)+ A(33)= A(99)=3$

Wir stellen auch fest

A (1) = 0

$A(1) = 0$

Darüber monoton steigend bemerken wir erlaubte Werte von $\Omega =\frac{N!}{\prod_j n_j !}$ . Daher für zulässige Werte von $\Omega$ :

Ω_{1} > Ω_{2} ⟹ A (Ω_{1}) > A (Ω_{2})

$\Omega_1 > \Omega_2 \implies A(\Omega_1) > A(\Omega_2)$

Daher können wir (als alternative Definition) verwenden:

S = k_{A} A (Ω)

$S = k_a A(\Omega)$

Logisch vielleicht ( $S=k_b \ln(\Omega)$ ) ist ein abgeleitetes Ergebnis der statistischen Physik (Seite 13)

Strenge Behandlung

Wir können die Boltzmann-Verteilung mit einigen Modifikationen auf die übliche Weise herleiten ... Wir erkennen die Einschränkungen:

\sum_{J} N_{J} = N

$\sum_{j} n_j = N$

\sum_{J} N_{J} ϵ_{J} = U

$\sum_{j} n_j \epsilon_{j}= U$

Mindest (Ω) = Mindest \ln (Ω) = Mindest A (Ω) ⟹ N_{J}^{*} = \exp (a + β ϵ_{J})

$\min (\Omega) = \min \ln( \Omega) = \min A( \Omega) \implies n^*_j = \exp(\alpha + \beta \epsilon_j)$

Mit der Bedingung that

\sum_{J} N_{J} = N ⟹ Mindest (Ω) ⟹ N_{J} = \frac{N}{Z} \exp β ϵ_{J}

$\sum_{j} n_j = N \implies \min (\Omega) \implies n_j = \frac{N}{Z} \exp{\beta \epsilon_j}$

Wo $Z = \sum_j \exp{\beta \epsilon_j}$

Dies gibt jedoch nicht die übliche Art von $\beta$

\begin{aligned} D (\ln (Ω)) & = D (\ln T^{*}) \\ = - \sum_{J} \ln N_{J}^{*} D N_{J} \\ = - \sum_{J} (a + β ϵ_{J}) D N_{J} [Verwenden der Boltzmann-Verteilung] \\ = - β \sum_{J} ϵ_{J} D N_{J} [∵ N Ist repariert] \\ = - β (D U) \\ = - β (T D S) \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm d (\ln(\Omega))& = \mathrm d(\ln t^*) \\&= -\sum_{j} \ln {n^*_j} \,\mathrm dn_j\\ &= -\sum_j (\alpha + \beta \epsilon_j) \,\mathrm dn_j \qquad [\textrm{Using Boltzmann distribution}]\\ & = -\beta \sum_j \epsilon_j \,\mathrm dn_j\qquad \qquad[\textrm{ $\because \;N$ is fixed}] \\&= -\beta (\mathrm dU)\\ &= -\beta (T\,\mathrm dS)\end{align}$ Einfügen der neuen Definition von

S = k_{a} A (Ω)

$S=k_a A(\Omega)$

∴ β = \frac{- 1}{k_{A} T} \times \frac{D \ln (Ω)}{D A (Ω)}

$\therefore \beta= \frac{-1}{k_a T} \times \frac{\mathrm d \ln(\Omega)}{\mathrm d A(\Omega)}$

Fragen

Ist diese Arbeit richtig? Hat jemand schon daran gearbeitet? (Wenn ja, bitte Referenz) und erlaubt die zahlentheoretische Lücke eine alternative Definition der Entropie?

PS: Am liebsten hätte ich viele Spin-Off-Fragen gestellt, aber ich denke, ich muss zuerst wissen, ob das richtig ist.

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David z

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ACuriousMind · Answer 1

Dies ist zwar ein komisch aussehender Zufall, aber kein gültiger alternativer Ausdruck für Entropie im Allgemeinen, da die Entropie einer Wahrscheinlichkeitsverteilung (die sich rigoros hinter dem seltsamen Wort "Makrozustand" verbirgt) allgemeiner gegeben ist durch

\begin{matrix} (1) & S = - k_{B} \sum_{ich} P_{ich} \ln (P_{ich}) \end{matrix}

$S = - k_B \sum_i p_i\ln(p_i) \tag{1}$ und wird nur

\begin{matrix} (2) & S = k_{B} \ln (Ω) \end{matrix}

$S = k_B \ln(\Omega) \tag{2}$ im Falle einer gleichmäßigen Verteilung, für die jeder Staat innerhalb

Ω

$\Omega$ ist gleichwahrscheinlich. Es ist gerade das grundlegende Postulat der Thermodynamik, dass Systeme im Gleichgewicht durch solche Gleichverteilungen beschrieben werden, aber das ist es

(1)

$(1)$ , und nicht

(2)

$(2)$ , die die Entropie für alle statistischen Systeme im Gleichgewicht angibt oder nicht.

Außerdem ist es $(1)$ das verallgemeinert auf den Quantenfall, wo dann die Entropie gegeben ist durch

\begin{matrix} (3) & S (ρ) = k_{B} T R (ρ \ln (ρ)) \end{matrix}

$S(\rho) = k_B \mathrm{Tr}(\rho\ln(\rho))\tag{3}$ für

ρ

$\rho$ die Dichtematrix, die Quantenversion einer statistischen Wahrscheinlichkeitsverteilung. Insbesondere der Versuch, sich zu bewerben

A

$A$ zur Dichtematrix keinen Sinn.

Lassen Sie mich das auch anmerken $A(r)$ Und $\ln(r)$ unterscheiden sich in ihrem Wuchsverhalten: Let $x = \prod_i p_i^{r_i}$ eine ganze Zahl mit Primfaktoren sein $p_i$ . Dann

\begin{aligned} A (X) & = \sum_{ich} R_{ich} \\ \ln (X) & = \sum_{ich} R_{ich} \ln (P_{ich}) \end{aligned}

$\begin{align} A(x) & = \sum_i r_i \\ \ln(x) & = \sum_i r_i \ln(p_i) \end{align}$ und während der Logarithmus eine monoton steigende Funktion ist, die Primzahlzählfunktion

A

$A$ ist nicht:

A (3) = 1, A (4) = 2, A (5) = 1

$A(3) = 1,A(4) =2,A(5)=1$ . Ihre Definition unterscheidet sich also deutlich von der üblichen Definition - Ihre Entropie steigt nicht monoton mit den zugänglichen Mikrozuständen. Da es insbesondere unendlich viele Primzahlen gibt, ist die Funktion

A

$A$ verhält sich bei hohen Werten immer merkwürdiger

Ω

$\Omega$ - und insbesondere auf den zweitniedrigsten Wert sinken wird,

1

$1$ für beliebig hoch

Ω

$\Omega$ . Es sollte offensichtlich sein, dass dies nicht die übliche Thermodynamik modelliert und insbesondere kein Sonderfall davon sein kann

(1)

$(1)$ . Sie sagen, Sie möchten nur spezielle Werte für zulassen

Ω

$\Omega$ auf welche

A

$A$ monoton steigend ist , aber dann haben Sie die Gültigkeit Ihrer Formel wieder auf Systeme beschränkt, in denen

Ω

$\Omega$ verhält sich in der Tat so (ich denke, Sie haben dort eine Annahme von "idealem Gas" oder "alle Teilchen sind nicht zu unterscheiden").

Alles, was dieses Beispiel zeigt, ist, dass die Entropie als Funktion von $\Omega$ ist durch die Funktionsgleichung nicht eindeutig festgelegt $f(x_1x_2) = f(x_1)+f(x_2)$ Und $f(1) = 0$ wenn man dies nur für die ganzen Zahlen benötigt. Die Lösung $\ln$ wird nur eindeutig, wenn man fordert, dass die Lösung eine stetige Funktion auf der positiven reellen Linie ist.

Einverstanden $\ln(x)$ ist keine monoton steigende Funktion ... $\ln(\Omega)$ ist (irgendwie) monoton steigende Funktion ... Was ist der Unterschied? Erinnern Sie sich an zulässige Werte von $\Omega= \frac{N!}{\prod n_j!}$ ... Vor diesem Hintergrund ... $ln(\Omega) = \ln(N!) - \sum \ln(n_j!)$ Wir nicht, wenn wir uns auf diese Gruppe beschränken $\Omega$ Dann $\Omega_1 > \Omega_2 \implies A(\Omega_1)>A(\Omega_2)$
@AnantSaxena: Ich bin mir nicht sicher, was du meinst. Ich gehe auf Ihre Beschränkung auf spezielle Werte von ein $\Omega$ - das schränkt auf bestimmte Systeme (allerdings die in der Thermodynamik am häufigsten vorkommenden) ein. Ich gebe mehrere Hinweise, warum mit $A$ könnte für diese Systeme funktionieren, kann aber nicht auf das größere Bild verallgemeinert werden - das der Nichtgleichgewichtsmechanik, nicht-ergodischen Systeme oder Quantensysteme, während die $\ln$ verallgemeinert mühelos. Was ist Ihrer Meinung nach daran verwerflich?
Tut mir leid, anscheinend hatten Sie recht ... "Sie sagen, Sie möchten nur spezielle Werte für zulassen $\Omega$ auf welche $A$ monoton steigend ist, aber dann haben Sie die Gültigkeit Ihrer Formel wieder auf Systeme beschränkt, in denen $\Omega$ verhält sich in der Tat so" ... Haben Sie irgendeine Vorstellung von physikalischen Spezialfällen im Sinn? (Wenn ja, würden Sie gerne näher darauf eingehen?)
Nur ein Kommentar. Laut math.stackexchange.com/a/1639781/430082 . Eine ungefähr gültige Definition von groß $\Omega$ (Mikrozustände) ist $\log \log \Omega$

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