Ableitung der Temperatur/Entropie-Beziehung aus der statistischen Mechanik

Das versuche ich zu beweisen

1 T := k B β = ∂ S ∂ E .
ich habe das
E := ∑ P ich E ich ,
die Gibbs-Entropie
S = − k B ∑ ich P ich ln ⁡ P ich ,
und indem ich dies mit Langrange-Multiplikatoren maximierte, leitete ich das kanonische Ensemble ab,
P ich = e − β E ich Z ,
Wo
Z = ∑ ich e − β E ich .
Meine erste Gleichung wird manchmal als Definition von genommen β aber ich habe es bereits in meiner Ableitung der kanonischen Gesamtheit definiert. Daher sollte ich in der Lage sein, es zu beweisen. Zunächst einmal kann ich das anhand meiner Definitionen zeigen
S = − k B Z ∑ e − β E ich ln ⁡ ( e − β E ich Z ) = k B β Z ∑ E ich e − β E ich + k B ln ⁡ Z = k B β E + k B ln ⁡ Z .
Es wäre toll, wenn ich das zeigen könnte ∂ ln ⁡ Z ∂ E = 0 denn dann wäre ich fertig. Ich gehe jedoch durch, um das zu finden
E = 1 Z ∑ E ich e − β E ich = − ∂ ln ⁡ Z ∂ β ,
und so
∂ E ∂ Z = ∂ ∂ β ∂ ln ⁡ Z ∂ Z = − Z − 2 ∂ Z ∂ β = Z E Z 2 = E Z ,
und dann
∂ ln ⁡ Z ∂ E = ∂ ln ⁡ Z ∂ Z ∂ Z ∂ E = 1 Z Z E = 1 E ,
was ich nicht sicher bin, ist legal. Allerdings finde ich das auch
∂ E ∂ ln ⁡ Z = − ∂ ∂ β ∂ ln ⁡ Z ∂ ln ⁡ Z = 0.
Wo gehe ich falsch? Mir ist diese Antwort bekannt, die die Boltzmann-Formel für die Entropie verwendet, aber ich konnte sie nicht verwenden, um meine Ableitung aufzuheben. Meine partiellen Ableitungen sollten bei konstantem Volumen und konstanter Partikelzahl genommen werden, was möglicherweise etwas damit zu tun hat, aber ich sehe nicht, wie ich das anwenden kann.

Hallo Matta. Antworten werden geschlossen, wenn sie nur dazu dienen, ein Problem zu lösen, und keine interessante Physik beinhalten. Typischerweise beschreiben wir diese als hausaufgabenähnliche Fragen, obwohl es sich nicht um echte Hausaufgaben handeln muss. Sie müssen nur routinemäßig und uninteressant sein. Ihre Frage wurde aus diesem Grund geschlossen, obwohl ich sagen muss, dass ich das hart finde und dafür gestimmt habe, sie wieder zu öffnen. Die Antwort ist für mich nicht offensichtlich, also nehme ich an, dass die Antwort nicht offensichtlich ist! Sie können jederzeit auf der Meta-Site nach einer Wiedereröffnung fragen. Das funktioniert oft.
Ich denke, Sie sollten auch die Boltzmann-Definition der Entropie berücksichtigen: S ( U ) = k B Protokoll ⁡ Ω ( U ) . Es gilt auch für das kanonische Ensemble. Für ein besseres Verständnis der Beziehung zwischen zwei Entropien (Boltzmann und Gibbs) siehe ( damtp.cam.ac.uk/user/tong/statphys.html ), Seite 24
Hallo John Rennie, danke für die Hilfe. Ich werde tun, was Sie vorschlagen. Auch Aleksey Druggist, ich werde mir das ansehen, da dies meine vorgeschlagene Antwort beleuchten könnte, danke.
@AlekseyDruggist, ich habe Tongs Notizen gelesen und ich denke, Sie müssen ein bisschen vorsichtig sein. Das kanonische Ensemble hat keine definierte Energie und daher hat die von Ihnen angegebene Boltzmann-Entropiedefinition keine Bedeutung. Auch wenn Sie es durch durchschnittlich ersetzt haben U , es wäre noch unklar, was Ω ( ⟨ U ⟩ ) würde bedeuten. Tong verwendet einen Trick, um die Gibbs-Entropie mit Boltzmann zu motivieren. Ansonsten handelt es sich um zwei verschiedene Funktionen: Die letztere zählt Mikrozustände als Eingabe und die erstere nimmt Wahrscheinlichkeitsverteilungen als Eingabe. Es sei denn, Sie meinen damit etwas anderes U .
@Matta, Sorgfalt, hervorragende Qualität, ich werde deinen Rat auf jeden Fall berücksichtigen, danke. Was die Boltzmann-Entropie betrifft, schreibt derselbe Tong (auf Seite 23) eine Formel für die kanonische Partitionsfunktion als Summe über Energieniveaus um, indem er einen Entartungsfaktor einbezieht:
Z = ∑ E ich Ω ( E ich ) e − β E ich = ∑ E ich e S ( E ich ) / k B − β E ich
Ich meine durch U ein kontinuierliches Analogon von E ich
Ich habe die Antwort im Text der Frage entfernt. Bitte tun Sie das nicht. Sie können den Text aus dem Bearbeitungsverlauf entfernen und bei erneut geöffneter Frage die Antwort als Antwort posten.
Ich glaube, ich vergesse etwas, aber wenn Sie die Zustandsdichte als proportionalen Begriff zu berechnen E 1 / 2 und integrieren, erhalten Sie die Anzahl der Zustände für die Entropie, S = k B ln ⁡ ( N ) . Ein Ausdruck, der Temperatur mit kinetischer Energie in Verbindung bringt, sollte in Kombination damit das gewünschte Ergebnis liefern. Aber die KE-Beziehung könnte ein Zirkelschluss sein.

Antworten (2)

Ich benutze Einheiten wo k B = 1 .

Sie haben bis zu dem Punkt, an dem Sie erhalten, Recht S = β E + Protokoll ⁡ Z .

Die wahrscheinlich häufigste Ursache für Verwirrung in der Thermodynamik ist das Vergessen, welche Variablen in partiellen Ableitungen festgehalten werden. Insbesondere,

β = ∂ S ( E , v , N ) ∂ E .

T ist keine der Variablen, die in dieser Ableitung festgehalten wird! In der Tat, wenn wir erhöhen E ohne Veränderung v oder N , erwarten wir auf jeden Fall T auch aufstehen! Wir müssten also die Produktregel auf den ersten Term anwenden, um wie gewünscht fortzufahren:

∂ ( β E ) ∂ E ≠ β .

Aber ich würde die Dinge lieber ein bisschen anders machen. Da Sie in der kanonischen Gesamtheit gearbeitet haben, wollen wir zunächst versuchen, die Thermodynamik der kanonischen Gesamtheit herzuleiten.

Lassen F ≡ − T Protokoll ⁡ Z = E − T S . Wir berechnen

∂ F ∂ T = − Protokoll ⁡ Z − T ∂ Protokoll ⁡ Z ∂ T = − Protokoll ⁡ Z − T ∂ β ∂ T ∂ Protokoll ⁡ Z ∂ β = − Protokoll ⁡ Z + β ∂ Protokoll ⁡ Z ∂ β .

Unter Verwendung der von Ihnen abgeleiteten Ergebnisse erhalten wir

∂ F ∂ T = β F − β E = − S .

Jetzt haben wir das Reich der Thermodynamik betreten - wie beziehen wir die Ableitungen von S zu denen von F ? Denken Sie daran, dass wir im Grunde versuchen, den ersten Hauptsatz der Thermodynamik zu bekommen. Schreiben Sie also das Äquivalent für die kanonische freie Energie:

D F = ( ∂ F ∂ T ) v , N D T + ( ∂ F ∂ v ) T , N D v + ( ∂ F ∂ N ) T , v D N = − S D T + ( ∂ F ∂ v ) T , N D v + ( ∂ F ∂ N ) T , v D N .

Aber wir haben auch:

F = E − T S D F = D E − T D S − S D T ,

woher

D E = T D S + ( ∂ F ∂ v ) T , N D v + ( ∂ F ∂ N ) T , v D N D S = 1 T D E − 1 T ( ∂ F ∂ v ) T , N D v − 1 T ( ∂ F ∂ N ) T , v D N .

Wir lesen also das gewünschte Ergebnis ab,

1 T = ( ∂ S ∂ E ) v , N .

So wie ich es verstehe, leitet TO die kanonische Wahrscheinlichkeitsverteilung als eine Verteilung ab, die eine Funktion namens Gibbs-Entropie maximiert. unter der Bedingung, dass die durchschnittliche Energie festgelegt ist (siehe diese Methode im Tong-Skript als Übung auf Seite 24). Die Frage war, warum der Lagrange-Multiplikator β Die bei diesem Verfahren auftretende Temperatur sollte gleich der inversen Temperatur sein 1 / k B T , die als Ableitung der Boltzmannschen Entropie nach Energie definiert ist. In dieser Frage gibt es keine Thermodynamik
Die Frage bezieht sich nicht ausdrücklich auf andere thermodynamische Beziehungen als die, die OP beweisen möchte, aber diese Antwort setzt nichts von der Thermodynamik voraus, was auch von der Frage nicht angenommen wurde. Ich beziehe mich auf Dinge wie das erste Gesetz, um Manipulationen zu motivieren, aber ich verwende nur Eigenschaften, die bereits im Hauptteil der Frage und des Kalküls abgeleitet wurden.

Kuma bemerkte meinen Fehler, indem er darauf hinwies

∂ ( β E ) ∂ E ≠ β .
Ich wollte die Antwort etwas kürzer geben. Auch Einstellung k B = 1 ,
∂ S ∂ E = β + E ∂ β ∂ E + ∂ ln ⁡ Z ∂ E = β + E ∂ β ∂ E + ∂ ln ⁡ Z ∂ β ∂ β ∂ E = β + E ∂ β ∂ E − E ∂ β ∂ E = β .

Es kann kürzer sein (basierend auf der Essenz der Lagrange-Multiplikatormethode): S + β ( ∑ P ich E ich − E ) → maximal, also ∂ S ∂ E − β = 0
Das solltest du als Antwort schreiben Aleksey! Sehr guter Punkt.
Ich bin mir nicht sicher, ob dies die Antwort ist. Denken Sie daran, dass Sie in Ihrer ursprünglichen Antwort eine andere Definition der Temperatur durch die Ableitung in Bezug auf die Energie erwähnt haben U (kontinuierlich analog E ich ) des Logarithmus der Anzahl der Mikrozustände mit dieser Energie U dh Boltzmanns Entropie? Dies ist die physikalische Definition der Temperatur. (Zwei isolierte Körper werden in Kontakt gebracht, Gleichgewichtszustand usw. ...) Die Frage ist, glaube ich, warum der Lagrange-Multiplikator β fällt mit dieser Temperatur zusammen (genauer gesagt mit ihrem Kehrwert)?
Ableitung der Temperatur/Entropie-Beziehung aus der statistischen Mechanik
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